发表机构
Imperial College London; University of Warwick（帝国理工学院; 华威大学）
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本文证明了 White 猜想：在 $\mathbb R^4$ 中，合适的极小 Möbius 带上的锥是 $\mathbb Z_2$ 系数下局部质量极小的，并刻画了满足极小圆柱切片性质的所有非平面极小超锥。
AI 中文摘要
我们证明在 $\mathbb R^4$ 中，关于一个合适的极小 Möbius 带 $\Sigma\subset \mathbb S^3$ 的锥 $C(\Sigma)$ 在 $\mathbb Z_2$ 系数下是局部质量极小的。这证明了 Brian White 在环境维数为 4 或更高的 Plateau 问题边界奇点模型背景下提出的一个猜想。关键洞察在于圆柱切片 $C(\Sigma)\cap \{(z,w)\in \mathbb R^2 \times \mathbb R^2: |w|=r\}$ 是 $\mathbb R^3$ 的平坦秩一平移商空间中的极小曲面。事实上，它们对应于 Antonio Ros 先前研究的不可定向极小螺旋面。我们还证明，在刚体运动下，极小锥 $C(\Sigma)\times \mathbb R^{n-4}\subset \mathbb R^n$ 是仅有的具有边界 $\mathbb R^{n-2}$、在边界外光滑且满足极小圆柱切片性质的非平面极小超锥。
英文摘要
We prove that the cone $C(Σ)$ in $\mathbb R^4$ over a suitable minimal Möbius band $Σ\subset \mathbb S^3$ is locally mass-minimising with coefficients in $\mathbb Z_2$. This proves a conjecture by Brian White in the context of models of boundary singularities of Plateau's problem in ambient dimension $4$ or higher. The key insight is that the cylindrical slices $C(Σ)\cap \{(z,w)\in \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 : |w|=r\}$ are minimal surfaces in a flat rank-one translation quotient of $\mathbb R^3$. In fact, they correspond to non-orientable minimising helicoids previously studied by Antonio Ros. We also show that, up to rigid motions, the minimising cones $C(Σ)\times \mathbb R^{n-4}\subset \mathbb R^n$ are the only non-planar minimal hypercones with boundary $\mathbb R^{n-2}$ which are smooth away from the boundary that satisfy the minimal cylindrical slice property.
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