差异理论、Tverberg定理与回归深度
Discrepancy theory, Tverberg's theorem, and regression depth
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中文总结 AI 辅助
本文证明了带容差的Tverberg定理的新界，并将其推广到超平面族，通过建立与差异理论的联系，给出了回归凸包相交的划分条件。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了带容差的Tverberg定理的新界。我们证明$N = rt+\Theta_{d,r}(t^{1/2-1/(2d)})$，其中$N$是最小的数，使得$\mathbb{R}^d$中任意$N$个点的集合都有一个划分为$r$部分，使得即使移除任意$t$个点，各部分的凸包仍然相交。我们将带容差的Tverberg定理推广到$\mathbb{R}^d$中的超平面族，并证明对于$\mathbb{R}^d$中任意$rt + O_{d,r}(t^{1/2-1/(2d)}\sqrt{\log (t+1)})$个超平面的集合，存在一个将它们划分为$r$部分的划分，使得即使移除任意$t$个超平面，各部分的回归凸包仍然相交。我们的界是通过建立Tverberg型结果与差异理论之间的联系而得出的。
英文摘要
We prove new bounds for Tverberg's theorem with tolerance. We show that $N = rt+Θ_{d,r}(t^{1/2-1/(2d)})$, where $N$ is the smallest number such that any set of $N$ points in $\mathbb{R}^d$ has a partition into $r$ parts such that the convex hulls of the parts intersect even if we remove any $t$ of the points. We extend Tverberg's theorem with tolerance to families of hyperplanes in $\mathbb{R}^d$, and show that for any set of $rt + O_{d,r}(t^{1/2-1/(2d)}\sqrt{\log (t+1)})$ hyperplanes in $\mathbb{R}^d$ there exists a partition of them into $r$ parts such that the regression hulls of the parts intersect even if any $t$ hyperplanes are removed. Our bounds follow from establishing a connection between Tverberg-type results and discrepancy theory.
发表机构
- University of Michigan（密歇根大学）
- Baruch College, City University of New York（纽约市立大学巴鲁克学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
