发表机构
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明在SL2(R)×SL2(R)的非均匀格商空间中，具有稠密轨道的标准轨形子群在几乎平方点处的轨道仍稠密，通过有效追踪周期轨道并利用Weyl不等式及齐次动力学工具实现。
AI 中文摘要
设 $\Gamma\subset\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})\times\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ 为不可约非均匀格，并定义空间 $X = \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})\times\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})/\Gamma$。设 $U$ 为 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})\times\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ 中的标准轨形子群。我们证明：对于每个 $\delta>0$ 和具有稠密 $U$-轨道的 $x\in X$，在几乎平方处取值的 $U$-轨道 $\{(u_{(n^{2-\delta},m^{2-\delta})}~:~n,m\in\mathbb{N}\}\cdot x$ 在 $X$ 中稠密。证明的主要思想是追踪大的周期 $U$-轨道，并将命题归结为周期 $U$-轨道内部的稠密性命题，即二维环面 $\mathbb{T}^2$ 上的命题。这进而由 Weyl 不等式的有效版本推出结果。周期 $U$-轨道的有效追踪通过齐次动力学的工具实现，即轨形子群的数量非散逸性、对角流下的回复性以及扩张轨形子群的有效等分布。我们的方法遵循文献 \cite{KR25} 中 \citeauthor{KR25} 的策略，该工作建立了 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ 中非均匀格的双曲流几乎平方的稠密性。
英文摘要
Let $Γ\subset\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})\times\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ be an irreducible, non-uniform lattice and define the space $X = \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})\times\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})/Γ$. Let $U$ be the standard horospherical subgroup in $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})\times\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$. We show that for every $δ>0$ and $x\in X$ with dense $U$-orbit, the $U$-orbit evaluated at almost squares, $\{(u_{(n^{2-δ},m^{2-δ})}~:~n,m\in\mathbb{N}\}\cdot x$, is dense in $X$. The main idea of the proof is to shadow large periodic $U$-orbits and reduce the statement to a density statement within the periodic $U$-orbit, i.e. a statement for the $2$-torus $\mathbb{T}^2$. This then follows from an effective version of Weyl's inequality to deduce the result. The effective shadowing of periodic $U$-orbits is achieved using tools from homogeneous dynamics, namely quantitative non-divergence of horospherical subgroups, recurrence under the diagonal flow and effective equidistribution of expanding horospherical subgroups. Our approach follows the strategy of the work \cite{KR25} of \citeauthor{KR25} who established density of almost squares of the horocycle flow for non-uniform lattices in $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$.
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