发表机构
Peking University; Tsinghua University（北京大学; 清华大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文为Ferrers-胞腔偏序集的q-Zeta分子给出显式正公式，通过带符号EL-标号和转移矩阵递推计算下降集多项式，并推广到正根偏序集，获得零点、交错性及增长率等结果。
AI 中文摘要
我们给出了 Chapoton 的 $q$-Zeta 分子对于 Ferrers-胞腔偏序集 $F_{\mathbf b}=\{(i,c):1\leq i\leq r, i\leq c\leq b_i\}$（其中 $b_1\geq\cdots\geq b_r\geq r$）及其最小增广格的每个区间的显式正公式。一个构造性的带符号 EL-标号将分子表示为边界可容许路径词上的下降枚举器。一个有限的转移矩阵递推恢复了完整的多元下降集多项式。对于梯形边界，高斯-二项式公式描述了每个区间和每个 $t$-切片。在 $q=1$ 时，一个雅可比多项式变换给出了简单的负零点、严格的固定偏移交错性以及一个显式的反正弦推进极限。我们还获得了代数固定偏移生成函数以及 $t\geq0$ 时的增长率 $(1+\sqrt t)^2$。类型 $A_r$、$B_r$ 和 $C_r$ 的标准正根偏序集是特例，按根高度减一分级，并带有 Chapoton 的固定分母。对于类型 $B_r$ 和 $C_r$，这产生了全秩系数为正性、反向选票公式、特例 $[t^k]\mathbb{H}_{P_r,\operatorname{rk}}(1,t)=\binom{r-1}{k}^2$，以及具有唯一首项单项式的尖锐切片次数。本文的主要结果是通过使用 OpenAI GPT-5.6 Sol、Anthropic Claude Fable 5 和 Grok 4.6 的生成式 AI 工作流获得的。OpenAI GPT-6 Astra 用于后续的证明和引文审查以及手稿修订。更多细节见论文末尾的披露。
英文摘要
We give explicit positive formulas for Chapoton's $q$-Zeta numerators of the Ferrers-cell posets $F_{\mathbf b}=\{(i,c):1\leq i\leq r, i\leq c\leq b_i\}$, where $b_1\geq\cdots\geq b_r\geq r$, and for every interval of their minimum-augmented lattices. A constructive signed EL-labelling expresses the numerator as a descent enumerator over boundary-admissible path words. A finite transfer-matrix recursion recovers the full multivariate descent-set polynomial. For trapezoidal boundaries, Gaussian-binomial formulas describe every interval and every $t$-slice. At $q=1$, a Jacobi-polynomial transform gives simple negative zeros, strict fixed-offset interlacing, and an explicit arcsine push-forward limit. We also obtain algebraic fixed-offset generating functions and the growth rate $(1+\sqrt t)^2$ for $t\geq0$. The standard positive-root posets of types $A_r$, $B_r$, and $C_r$ are specializations, graded by root height minus one with Chapoton's fixed denominator. For types $B_r$ and $C_r$, this yields all-rank coefficientwise positivity, the reversed-ballot formula, the specialization $[t^k]\mathbb{H}_{P_r,\operatorname{rk}}(1,t)=\binom{r-1}{k}^2$, and sharp slice degrees with unique leading monomials. The main results of this paper were obtained through a generative-AI workflow using OpenAI GPT-5.6 Sol, Anthropic Claude Fable 5, and Grok 4.6. OpenAI GPT-6 Astra was used for subsequent proof and citation review and manuscript revision. Further details appear in the disclosure at the end of the paper.
Comments34 pages
