发表机构
University of Glasgow; Leibniz Universität Hannover; Philipps-Universität Marburg（格拉斯哥大学; 汉诺威莱布尼茨大学; 马尔堡菲利普斯大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明在 $n\geq6$ 时，对称群和带符号对称群的换位子群元素均可表示为两个 $n$-循环的换位子，仅当 $n\equiv2\pmod4$ 时 $-\mathrm{id}$ 例外，并给出 Coxeter 群类型 $A$、$B$ 的相应描述。
AI 中文摘要
我们证明，对于 $n \geq 6$，对称群 $\mathfrak{S}_n$ 中换位子群的每个元素分别是两个 $n$-循环的换位子，而在带符号对称群 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n\rtimes\mathfrak{S}_n$ 中，每个元素分别是两个具有负符号乘积的 $n$-循环的换位子；但有一个例外。若 $n \equiv 2 \pmod{4}$，则 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n\rtimes\mathfrak{S}_n$ 中的元素 $-\mathrm{id}$ 不是这样的换位子。在 Coxeter 群的语言中，这给出了类型 $A$ 和 $B$ 中 Coxeter 元素换位子的描述。
英文摘要
We show that for $n \geq 6$ each element of the commutator subgroup in the symmetric group $\mathfrak{S}_n$ resp. in the signed symmetric group $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n\rtimes\mathfrak{S}_n$ is the commutator of two $n$-cycles resp. the commutator of two $n$-cycles with a negative sign product; with one exception. If $n \equiv 2$ $\mathrm{mod}~4$, the element $-\mathrm{id}$ of $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n\rtimes\mathfrak{S}_n$ is not such a commutator. In the language of Coxeter groups, this yields a description of commutators of Coxeter elements in types $A$ and $B$.
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