半环簇格中的一个连续统：区间 $[\mathsf{V}(S), \mathsf{V}(S^0)]$

中文摘要 AI 辅助

对于加法幂等半环（ai-半环）$S$，设 $S^0$ 表示通过在 $S$ 中添加一个新元素 $0$ 而得到的 ai-半环。本文发展了一种方法来研究由 $S$ 生成的簇与由 $S^0$ 生成的簇之间的 ai-半环簇区间 $[\mathsf{V}(S), \mathsf{V}(S^0)]$。我们建立了一个一般性的充分条件，在该条件下此区间具有连续统的基数。此结果特别应用于 $[\mathsf{V}(S_7), \mathsf{V}(S_7^0)]$，其中 $S_7$ 是一个 $3$ 元素 ai-半环，并且是最小阶数的非有限基代数，从而解决了 Jackson、Ren 和 Zhao 提出的一个开放问题（J. Algebra \textbf{611} (2022), 211--245）。同样的结论也适用于 $[\mathsf{V}(B_2^1), \mathsf{V}((B_2^1)^0)]$，其中 $B_2^1$ 是乘法归约（multiplicative reduct）为 $6$ 元素 Brandt 半群的 ai-半环。我们还给出了 ai-半环簇中非有限基性质的一个充分条件。作为推论，我们得到了 Dolinka 定理（Internat. J. Algebra Comput. \textbf{17} (2007), no.~8, 1537--1551）的一个新证明，即 $7$ 元素 ai-半环 $(B_2^1)^0$ 的恒等式没有有限基。

英文摘要

For an additively idempotent semiring (ai-semiring) $S$, let $S^0$ denote the ai-semiring obtained from $S$ by adjoining a new element $0$. In this paper, we develop an approach to investigate the interval $[\mathsf{V}(S), \mathsf{V}(S^0)]$ of ai-semiring varieties between the variety generated by $S$ and that generated by $S^0$. We establish a general sufficient condition under which this interval has the cardinality of the continuum. This is applied in particular to $[\mathsf{V}(S_7), \mathsf{V}(S_7^0)]$, where $S_7$ is a $3$-element ai-semiring and is a nonfinitely based algebra of the smallest possible order, thereby resolving an open problem proposed by Jackson, Ren, and Zhao (J. Algebra \textbf{611} (2022), 211--245). The same conclusion holds for $[\mathsf{V}(B_2^1), \mathsf{V}((B_2^1)^0)]$, where $B_2^1$ is the ai-semiring whose multiplicative reduct is the $6$-element Brandt semigroup. We also present a sufficient condition for the nonfinite basis property in ai-semiring varieties. As a corollary, we obtain a new proof of Dolinka's theorem (Internat. J. Algebra Comput. \textbf{17} (2007), no.~8, 1537--1551) that the $7$-element ai-semiring $(B_2^1)^0$ has no finite basis for its identities.

发表机构

• School of Mathematics, Northwest University（西北大学数学学院）

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