如何构造高 Barrycades
How to Construct High Barrycades
- Jagiellonian University（雅盖隆大学）
- Warsaw University of Technology（华沙理工大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文针对 barrycade 构造问题，给出了高度 h 阶数 2h+3 的构造，并用随机启发式验证了 h≤50 时最优阶数 2h-2 的猜想，同时处理了 corral 问题并确认了相关猜想。
AI中文摘要：
给定两个正整数高度 $h$ 和阶数 $n$，barrycade 构造问题要求找到一组 $h$ 个从 $1$ 到 $n$ 的整数的排列，使得由这些排列给出的所有真部分和两两不同。名称 barrycade 由 Richard K. Guy 创造，指的是 Barry Cipra，他引入了这种排列问题。简单计算表明，仅当 $n \ge 2h-2$ 时才可能存在解，并且猜想对于每个高度 $h \ge 2$ 和阶数 $n \ge 2h-2$ 总是存在解。在这项工作中，对于每个高度 $h \ge 1$，我们给出了高度为 $h$、阶数为 $n = 2h+3$ 的 barrycade 的构造。我们还提出了一种随机启发式方法，使得我们能够为每个高度 $2 \leq h \leq 50$ 找到高度为 $h$ 且猜想最优阶数 $n=2h-2$ 的 barrycade。因此，我们确认了所有高度不超过 50 的猜想最优阶数。我们还考虑了一个相关的 corral 构造问题，其中排列定义了一个循环排列。在这种设置下，对于每个高度 $h \ge 1$，我们给出了高度为 $h$、阶数为 $n=2h$ 的 corral 的构造。一种类似于用于 barrycades 的启发式方法使我们能够为每个高度 $1 \leq h \leq 50$ 找到高度为 $h$ 且猜想最优阶数 $n=2h-1$ 的 corral。我们确认了 Tomoki Nakamigawa 关于循环群的良分散划分的猜想，对于部分数不超过 20 的情况。
英文摘要：
Given two positive integers height $h$ and order $n$, the barrycade construction problem asks for a set of $h$ permutations of the integers from $1$ to $n$ such that all the proper partial sums given by these permutations are pairwise distinct. The name barrycade was coined by Richard K. Guy and refers to Barry Cipra, who introduced this kind of arrangement problem. A simple calculation shows that a solution can only exist for $n \ge 2h-2$ and it is conjectured that there always exists a solution for every height $h \ge 2$ and order $n \ge 2h-2$. In this work, for every height $h \ge 1$, we present a construction of a barrycade of height $h$ and order $n = 2h+3$. We also present a randomized heuristic that allows us to find a barrycade of height $h$ and conjectured optimal order $n=2h-2$, for every height $2 \leq h \leq 50$. Thus, we confirm the conjectured optimal order for all heights up to $50$. We also consider a related corral construction problem, where the permutations define a cyclic arrangement. In this setting, for every height $h \ge 1$, we present a construction of a corral of height $h$ and order $n=2h$. A heuristic approach, similar to the one used for barrycades, allows us to find a corral of height $h$ and conjectured optimal order $n=2h-1$, for every height $1 \leq h \leq 50$. We confirm Tomoki Nakamigawa's conjecture on well-dispersed partitions of cyclic groups for the number of parts up to $20$.
