发表机构
University of Zagreb; Kongju National University（萨格勒布大学; 公州国立大学）
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本文提出一种判定模曲线 $X_0(N)$ 到椭圆曲线是否存在次数 $D$ 有理映射的方法，并确定所有 $D\leq 100$ 的 $D$-椭圆曲线。
AI 中文摘要
我们提出了一种方法，用于确定是否存在从 $X_0(N)$ 到某个椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 的次数为 $D$ 的有理映射。此外，我们解释了如何利用次数配对方法获得一个二次型，该二次型表示所有此类映射的可能次数。此方法先前要求解析秩为奇数且满足一些额外的技术条件。在本文中，我们将该方法扩展到偶数秩曲线，并移除了所有技术条件。我们还展示了如何通过 $H_1(-,\mathbb{Z})$ 格上的提升准则来证明或否定次数为 $D$ 的映射到椭圆曲线的存在性。作为该方法的应用，我们确定了所有 $D\leq 100$ 的 $D$-椭圆曲线 $X_0(N)$。有趣的是，在某些情况下，我们发现了无法用退化映射、商映射和模参数化解释的次数为 $D$ 的有理映射。
英文摘要
We present a method for determining whether there exists a degree $D$ rational map from $X_0(N)$ to some elliptic curve $E/\mathbb{Q}$. Moreover, we explain how to obtain a quadratic form that represents all possible degrees of such maps using the degree pairing method. This method previously required odd analytic rank and some additional technical conditions to be satisfied. In this paper, we extended the method to even rank curves as well and remove all technical conditions. We also show how to prove or disprove the existence of degree $D$ maps to elliptic curves by a lifting criterion on the lattices $H_1(-,\mathbb{Z})$ As an application of this method, we determine all $D$-elliptic curves $X_0(N)$ for all $D\leq 100$. Interestingly, in some cases we found degree $D$ rational maps that we could not explain by degeneracy maps, quotient maps, and modular parameterisation.
Comments22 pages. SageMath code and computational results available at https://github.com/nt-lib/D-elliptic
