发表机构
School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究 $k$-一致超图中禁止匹配和特定图族的 Turán 问题，确定了不同匹配参数范围下的最大边数，推广了 Alon-Frankl 和 Gerbner 的结果。
AI 中文摘要
对于 $k$-图的族 $\mathcal{F}$，$\ex_k(n,\mathcal{F})$ 表示在 $n$ 个顶点上不含 $\mathcal{F}$ 中任何图作为子图的 $k$-图的最大边数。设 $M_{s+1}^k$ 表示 $k$-一致超图中的大小为 $s+1$ 的匹配。最近，Alon 和 Frankl (JCTB, 2024) 确定了对于所有 $n\geq 2s+1$ 和 $\ell\geq 2$ 的 $\ex_2(n,\{M_{s+1}^2,K_{\ell+1}\})$。对于每个非二分图 $F$，Gerbner (JGT, 2024) 确定了对于足够大的 $n$ 的 $\ex_2(n,\{M_{s+1}^2,F\})$。在本文中，我们针对匹配参数的不同范围研究此问题。首先，我们证明对于每个满足 $\chi(F)>3$ 的图 $F$，存在常数 $\beta>0$ 和 $s_0$，使得当 $\max\{s_0,n/2-\beta n\}<s<n/2$ 时，$\ex_k(n,\{M^2_{s+1}, F\})=\ex_2(2s+1,F)$。对于整数 $\ell\ge k\ge3$，设 $\mathcal{K}_{\ell+1}^k$ 为所有具有至多 $\binom{\ell+1}{2}$ 条边的 $k$-图 $F$ 的族，其中存在一个 $(\ell+1)$-元集 $L$ 使得 $L$ 的每一对顶点都被 $F$ 的一条边覆盖，并设 $H_{\ell+1}^k$ 为通过将完全图 $K_{\ell+1}$ 的每条边用一组 $k-2$ 个新顶点扩大而得到的 $k$-一致超图，它是 $\mathcal{K}_{\ell+1}^k$ 的一个成员。我们确定了对于 $s\leq \frac{n}{8(k-1)^{k-2}(\ell-1)^3}$ 的 $\ex_k\bigl(n,\mathcal{K}_{\ell+1}^k\cup\{M_{s+1}^k\}\bigr)$。对于足够大的 $s$，我们还分别确定了对于 $\frac{n}{k}-\beta n<s<\frac{n}{k}$ 和 $s\leq \frac{n}{8(k-1)^{k-2}(\ell-1)^3}$ 的 $\ex_k\bigl(n,\{M_{s+1}^k,H_{\ell+1}^k\}\bigr)$。
英文摘要
For a family $\mathcal{F}$ of $k$-graphs, $\ex_k(n,\mathcal{F})$ denotes the maximum number of edges in an $n$-vertex $\mathcal{F}$-free $k$-graph. Let $M_{s+1}^k$ denote a matching of size $s+1$ in $k$-uniform hypergraphs. Recently, Alon and Frankl (JCTB, 2024) determined $\ex_2(n,\{M_{s+1}^2,K_{\ell+1}\})$ for all $n\geq 2s+1$ and $\ell\geq 2$. For every non-bipartite graph $F$, Gerbner (JGT, 2024) determined $\ex_2(n,\{M_{s+1}^2,F\})$ for sufficiently large $n$. In this paper, we investigate this problem for different ranges of the matching parameter. First we prove that for every graph $F$ with $χ(F)>3$, there exist constants $β>0$ and $s_0$ such that $\ex_k(n,\{M^2_{s+1}, F\})=\ex_2(2s+1,F)$ for $\max\{s_0,n/2-βn\}<s<n/2$. For integers $\ell\ge k\ge3$, let $\mathcal{K}_{\ell+1}^k$ be the family of all $k$-graphs $F$ with at most $\binom{\ell+1}{2}$ edges for which there is an $(\ell+1)$-set $L$ such that every pair of vertices of $L$ is covered by an edge of $F$, and let $H_{\ell+1}^k$ be the $k$-uniform hypergraph obtained from the complete graph $K_{\ell+1}$ by enlarging each edge with a set of $k-2$ new vertices, which is a member of $\mathcal{K}_{\ell+1}^k$. We determine $\ex_k\bigl(n,\mathcal{K}_{\ell+1}^k\cup\{M_{s+1}^k\}\bigr)$ for $s\leq \frac{n}{8(k-1)^{k-2}(\ell-1)^3}$. For sufficiently large $s$, we also determine $\ex_k\bigl(n,\{M_{s+1}^k,H_{\ell+1}^k\}\bigr)$ for $\frac{n}{k}-βn<s<\frac{n}{k}$ and $s\leq \frac{n}{8(k-1)^{k-2}(\ell-1)^3}$, respectively.
