发表机构
Northwestern Polytechnical University; Qinghai Minzu University; Xi’an-Budapest Joint Research Center for Combinatorics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学; 青海民族大学; 西北工业大学西安-布达佩斯组合学联合研究中心）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究不含 $P_{3\cdot l}$ 的外平面图的极值谱问题，否定了先前提出的候选图，并确定了唯一极值图 $K_1\vee(2P_{2l-3}\cup qP_{l-2}\cup P_r)$，填补了 $t=3$ 情形的空白。
AI 中文摘要
图 $G$ 是 $F$-free 的，如果它不包含 $F$ 作为子图。设 $\mathrm{spex}(n,F)$ 为所有 $n$ 个顶点的 $F$-free 外平面图的最大谱半径。对于整数 $t\geq1$ 和 $l\geq2$，令 $P_{t\cdot l}$ 为具有 $t$ 条长度为 $l-1$ 的分支的星形树。对于足够大的 $n$，Yin, Li, 和 Meng [arXiv:2504.04364v1] 刻画了当 $t=1$, $t=2$ 或 $t\geq4$ 时 $\mathrm{spex}(n,P_{t\cdot l})$ 的唯一极值图。他们留下了 $t=3$ 的情形未解决，并提出了一个自然的极值图候选。我们证明该候选不是极值的，并确定了 $\mathrm{spex}(n,P_{3\cdot l})$ 的唯一极值图。对于每个 $l\geq3$ 和所有足够大的 $n$，这个唯一极值图是 $K_1\vee\bigl(2P_{2l-3}\cup qP_{l-2}\cup P_r\bigr)$，其中 $q$ 和 $r$ 是满足 $n=2(2l-3)+q(l-2)+r+1,$ $q\geq0,$ $0\leq r<l-2$ 的整数。
英文摘要
A graph $G$ is $F$-free if it does not contain $F$ as a subgraph. Let $\mathrm{spex}(n,F)$ be the maximum spectral radius over all $n$-vertex $F$-free outerplanar graphs. For integers $t\geq1$ and $l\geq2$, let $P_{t\cdot l}$ be the starlike tree with $t$ branches of length $l-1$. For sufficiently large $n$, Yin, Li, and Meng [arXiv:2504.04364v1] characterized the unique extremal graph for $\mathrm{spex}(n,P_{t\cdot l})$ when $t=1$, $t=2$, or $t\geq4$. They left the case $t=3$ open and proposed a natural candidate for the extremal graph. We show that this candidate is not extremal and determine the unique extremal graph for $\mathrm{spex}(n,P_{3\cdot l})$. For every $l\geq3$ and all sufficiently large $n$, this unique extremal graph is $K_1\vee\bigl(2P_{2l-3}\cup qP_{l-2}\cup P_r\bigr),$ where $q$ and $r$ are integers satisfying $n=2(2l-3)+q(l-2)+r+1,$ $q\geq0,$ $0\leq r<l-2.$
Comments10 pages
