发表机构
Tohoku University（东北大学）
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本文将Keogh和Thomas关于星形函数的周长估计不等式推广到λ-螺旋形函数，并保留最优常数。
AI 中文摘要
根据F. R. Keogh在1959年的一个结果，对于单位圆盘上的星形函数$f$，我们有不等式$L(r,f)/M(r,f)\le 2\pi+4\log[(1+r)/(1-r)]$，其中$L(r,f)$和$M(r,f)$分别表示曲线$\theta\mapsto f(re^{i\theta})$的长度以及$|f(z)|$在圆$|z|=r$上的最大值，这里$0<r<1$。E. Crane和D. Markose在2005年的论文中证明了常数$4$是最优的。D. K. Thomas在1968年得到了星形函数$f$的不等式$L(r,f)/\sqrt{A(r,f)}\le 2\sqrt{\pi}(1+\log[(1+r)/(1-r)])$，其中$A(r,f)$是映射$f$下圆盘$|z|<r$的像的面积。在本文中，我们将这些结果推广到给定$\lambda$（满足$-\pi/2<\lambda<\pi/2$）的$\lambda$-螺旋形函数的情形。
英文摘要
By a result of F. R. Keogh in 1959, we have the inequality $L(r,f)/M(r,f)\le 2π+4\log[(1+r)/(1-r)]$ for a starlike function $f$ on the unit disk, where $L(r,f)$ and $M(r,f)$ denote the length of the curve $θ\mapsto f(re^{iθ})$ and the maximum value of $|f(z)|$ on the circle $|z|=r$ for $0<r<1.$ E. Crane and D. Markose in their 2005 paper showed that the constant $4$ is best possible. D. K. Thomas obtained in 1968 the inequality $L(r,f)/\sqrt{A(r,f)}\le 2\sqrtπ(1+\log[(1+r)/(1-r)])$ for a starlike function $f$, where $A(r,f)$ is the area of the image of the disk $|z|<r$ under the mapping $f.$ In this paper, we extend these results to the case of $λ$-spirallike functions for a given $λ$ with $-π/2<λ<π/2.$
Comments13 pages, 1 figure
