$\mathbb Z^d$ 中立方体上离散极大函数的无维数估计
Dimension-free estimates for discrete maximal functions over cubes in $\mathbb Z^d$
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中文总结 AI 辅助
本文通过将离散乘子解释为连续乘子族并应用分数次积分与复插值，证明了立方体上离散 Hardy--Littlewood 极大函数的无维数 $\ell^p$ 界，并给出 Bourgain 结果的初等证明。
中文摘要 AI 辅助
在这篇短注中，我们为所有 $p\in(1,\infty]$ 建立与 $\mathbb Z^d$ 中立方体相关的离散 Hardy--Littlewood 极大函数的无维数 $\ell^p(\mathbb Z^d)$ 界，回答了一个长期悬而未决的问题。关键思想是证明相应平均值之差的 $\ell^p(\mathbb Z^d)$ 范数的无维数界。这源于对相关离散乘子的一种特殊解释，将其视为一个特殊的连续乘子族，对此可应用基本的分数次积分和复插值。同一方法还给出了 Bourgain 关于 $\mathbb R^d$ 中立方体相关的 Hardy--Littlewood 极大函数的无维数 $L^p(\mathbb R^d)$ 界的一个初等证明。
英文摘要
In this short note, we establish dimension-free $\ell^p(\mathbb Z^d)$ bounds, for all $p\in(1,\infty]$, for the discrete Hardy--Littlewood maximal functions associated with cubes in $\mathbb Z^d$, answering a question that had been open for a while. The key idea is to prove dimension-free bounds for the $\ell^p(\mathbb Z^d)$ norms of the differences of the corresponding averages. This follows from an ad hoc interpretation of the associated discrete multipliers as a special continuous family of multipliers to which basic fractional integration and complex interpolation can be applied. The same method also yields an elementary proof of Bourgain's dimension-free $L^p(\mathbb R^d)$ bounds for the Hardy--Littlewood maximal function associated with cubes in $\mathbb R^d$.
发表机构
- Rutgers University（罗格斯大学）
- Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski（弗罗茨瓦夫大学数学研究所）
- University of Georgia（佐治亚大学）
- Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk（波兰科学院数学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
