发表机构
Illinois State University; National Defense Academy of Japan（伊利诺伊州立大学; 日本防卫大学校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究 Sudoku 超立方体的块分解、代数刻画与正交性，给出 Baranyai 定理的高维类比，并构造达到最优或渐近最优的相互正交超立方体族。
AI 中文摘要
受高维 Sudoku 推广的启发，我们研究了 Sudoku 超立方体的精确块结构分解、代数刻画和正交性。设 $n=\prod_{i=1}^d a_i$，令 $b_i=n/a_i$，并考虑具有 $d$ 个大小为 $n$ 的顶点类的 $\lambda$ 重完全 $d$ 一致 $d$ 部超图，其中第 $i$ 个类被划分为 $a_i$ 个大小为 $b_i$ 的组。给定正整数 $m_1,\dots,m_k$ 且 $\sum_{j=1}^k m_j=\lambda n^d$，我们将边划分为大小分别为 $m_1,\dots,m_k$ 的颜色类，使得在颜色 $j$ 中，顶点度和块计数各自为 $\lfloor m_j/n\rfloor$ 或 $\lceil m_j/n\rceil$，而底层边的重数为 $\lfloor m_j/n^d\rfloor$ 或 $\lceil m_j/n^d\rceil$。当 $m_j=nr_j$ 时，顶点和块平衡是精确的，从而产生块分解和 Baranyai 定理的高维 Sudoku 类比。在同一块框架内，我们使用结合方案给出了 Sudoku 条件的 Delsarte 刻画，并研究了素数幂 $q$ 的阶 $q^3$ 的相互正交 Sudoku 超立方体。对于块大小 $(q^3,q^2,q)$ 和 $(q^3,q^3,1)$，所得族达到一般上界且是最优的。对于块大小 $(q^2,q^2,q^2)$，我们构造了 $q^2(q^2-1)(q^2-q)$ 个相互正交的超立方体；该构造在 $q\to\infty$ 时渐近最优。
英文摘要
Motivated by higher-dimensional generalizations of Sudoku, we study exact block-structured decompositions, algebraic characterizations, and orthogonality for Sudoku hypercubes. Let $n=\prod_{i=1}^d a_i$, let $b_i=n/a_i$, and consider the $λ$-fold complete $d$-uniform $d$-partite hypergraph with $d$ vertex classes of size $n$, where the $i$th class is partitioned into $a_i$ groups of size $b_i$. Given positive integers $m_1,\dots,m_k$ with $\sum_{j=1}^k m_j=λn^d$, we partition the edges into color classes of sizes $m_1,\dots,m_k$ so that, in color $j$, vertex degrees and block counts are each either $\lfloor m_j/n\rfloor$ or $\lceil m_j/n\rceil$, while the multiplicity of an underlying edge is either $\lfloor m_j/n^d\rfloor$ or $\lceil m_j/n^d\rceil$. When $m_j=nr_j$, the vertex and block balances are exact, yielding block factorizations and higher-dimensional Sudoku analogues of Baranyai's theorem. Within the same block framework, we give a Delsarte characterization of the Sudoku condition using association schemes and study mutually orthogonal Sudoku hypercubes of order $q^3$ for prime powers $q$. For block sizes $(q^3,q^2,q)$ and $(q^3,q^3,1)$, the resulting families attain a general upper bound and are best possible. For block size $(q^2,q^2,q^2)$, we construct $q^2(q^2-1)(q^2-q)$ mutually orthogonal hypercubes; this construction is asymptotically best possible as $q\to\infty$.
Comments16 pages
