随机多项式重复微分，其根为独立同分布旋转不变根
Repeated differentiation of random polynomials with i.i.d. rotationally invariant roots
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本文证明随机多项式重复微分后零点测度收敛于由根分布径向分位数函数确定的旋转不变极限测度，验证了Hoskins和Kabluchko的猜想。
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设 $p_n$ 为 $n$ 次随机多项式，其根独立同分布，服从复平面上具有有限对数矩的旋转不变概率测度 $\mu_0$。若 $k_n/n\to t\in(0,1)$，我们证明，当 $n \to \infty$ 时，$p_n$ 的 $k_n$ 阶导数的经验零点测度在概率意义下弱收敛到一个确定的旋转不变概率测度。我们利用 $\mu_0$ 的径向分位数函数显式描述该极限测度。这证明了 Hoskins 和 Kabluchko [Exp. Math. 32 (2023), no. 4] 的一个猜想。
英文摘要
Let $p_n$ be a random polynomial of degree $n$ whose roots are independent and identically distributed according to a rotationally invariant probability measure $μ_0$ on the complex plane with finite logarithmic moment. If $k_n/n\to t\in(0,1)$, we prove that, as $n \to \infty$, the empirical zero measure of the $k_n$-th derivative of $p_n$ converges weakly in probability to a deterministic rotationally invariant probability measure. We describe the limiting measure explicitly in terms of the radial quantile function of $μ_0$. This proves a conjecture of Hoskins and Kabluchko [Exp. Math. 32 (2023), no. 4].
发表机构
- University of Colorado（科罗拉多大学）
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