Zygmund猜想与Rey的指数可积性猜想
The Zygmund conjecture and Rey's exponential integrability conjecture
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- Washington University in St. Louis（华盛顿大学）
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中文总结 AI 辅助
本文证明了所有参数下的Zygmund猜想，通过证明Rey关于重叠函数的指数可积性猜想，并加强其归约，得到弱$L(\log L)^{m-2}$估计。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了所有参数下的Zygmund猜想：与边长$(s_1,\ldots,s_{m-1},\phi(s_1,\ldots,s_{m-1}))$的立方体乘积相关的极大算子，其中$\phi$是任何正的、按坐标单调不减的函数，对于每个$m\geq3$满足弱$L(\log L)^{m-2}$估计。该估计对于$m>3$是新的。我们的方法是证明Rey最近关于重叠函数$h_{\mathcal G}=\sum_{I\in\mathcal G}\mathbf{1}_I$的指数可积性猜想，指数为$1/(m-1)$，适用于$m$参数二进矩形的稀疏不可比族$\mathcal G$，其中$m\geq2$。Zygmund猜想，即使在上面的连续形式下，也通过加强Rey给出的一个归约而得出。
英文摘要
We prove the Zygmund conjecture in all parameters: the maximal operator associated with products of cubes with side lengths $(s_1,\ldots,s_{m-1},ϕ(s_1,\ldots,s_{m-1}))$, where $ϕ$ is any positive coordinatewise nondecreasing function, satisfies the weak $L(\log L)^{m-2}$ estimate for every $m\geq3$. The estimate is new for $m>3$. Our approach is to prove Rey's recent conjecture on the exponential integrability of the overlap function $h_{\mathcal G}=\sum_{I\in\mathcal G}\mathbf{1}_I$, with exponent $1/(m-1)$, for sparse incomparable families $\mathcal G$ of $m$-parameter dyadic rectangles, $m\geq2$. The Zygmund conjecture, even in the continuous form above, follows by strengthening a reduction given by Rey.
