发表机构
Dalian University of Technology; Jiangsu Normal University（大连理工大学; 江苏师范大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文完全证明了Almkvist关于分拆多项式$F_{r,n}(q)$单峰性的猜想，该猜想涵盖所有偶数$r$和所有$n\ge1$，以及所有奇数$r$和所有$n\ge11$的情况。
AI 中文摘要
对于整数$r\ge2$和$n\ge1$，设$$ F_{r,n}(q)=\prod_{k=1}^{n}\frac{1-q^{rk}}{1-q^k}. $$ 在$F_{r,n}(q)$中$q^j$的系数计算了$j$的分拆数，其中每个部分至多为$n$，且每个部分最多出现$r-1$次。Hughes证明了对于每个$n\ge 1$，$F_{2,n}(q)=\prod_{k=1}^{n}(1+q^k)$是单峰的。这一结果后来被Stanley用代数方法、Odlyzko和Richmond用解析方法重新证明。Almkvist猜想$F_{r,n}(q)$在以下两种情况下是单峰的：每个偶数$r$和每个$n\ge 1$；每个奇数$r$和每个$n\ge 11$。他证明了该猜想对于$3\le r \le 20$和$r=100,101$成立。在本文中，我们完全解决了这个猜想。
英文摘要
For integers $r\ge2$ and $n\ge1$, let $$ F_{r,n}(q)=\prod_{k=1}^{n}\frac{1-q^{rk}}{1-q^k}. $$ The coefficient of $q^j$ in \(F_{r,n}(q)\) counts partitions of $j$ into parts at most $n$, each occurring at most $r-1$ times. Hughes proved that $F_{2,n}(q)=\prod_{k=1}^{n}(1+q^k)$ is unimodal for every $n\ge 1$. This result was reproved by Stanley using an algebraic approach and Odlyzko and Richmond using an analytic approach. Almkvist conjectured that $F_{r,n}(q)$ is unimodal in the following two cases: every even $r$ and every $n\ge 1$; every odd $r$ and every $n\ge 11$. He proved that this conjecture is true for $3\le r \le 20$ and $r=100,101$. In this paper, we completely settle the conjecture.
Comments44 pages
