弱$^*$多项式稠密性、扩散性与真无限性
Weak$^*$ polynomial density, diffuseness and proper infinitude
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中文总结 AI 辅助
本文刻画了冯诺依曼代数酉群在弱$^*$拓扑下多项式稠密的条件，即典范有限原子商平凡，并推广了Eisner的问题与有界算子代数情形。
中文摘要 AI 辅助
在$\u2135_0$维希尔伯特空间上，冯诺依曼代数酉群在正规单位球中是多项式弱$^*$稠密的（等价地，$G_{\delta}$稠密或剩余），当且仅当该冯诺依曼代数的典范有限原子商是平凡的。类似结果对通常的弱$^*$拓扑也成立，此时可去掉正规性约束。在后一种形式下，这回答了T. Eisner的一个问题，并推广了全有界算子代数的对应结果。
英文摘要
The unitary group of a von Neumann algebra on an $\aleph_0$-dimensional Hilbert space is polynomially weak$^*$-dense (equivalently, $G_{delta}$ dense or residual) in the normal unit ball if and only if the canonical finite atomic quotient of the von Neumann algebra is trivial. The analogous result holds for the usual weak$^*$ topology, in which case one can drop the normality constraint. In the latter form, this answers a question of T. Eisner and generalizes the counterpart for full bounded-operator algebras.
