正 Kähler-Einstein 流形中余齐一 Lagrangian 平均曲率流的收敛性
Convergence of cohomogeneity-one Lagrangian mean curvature flow in positive Kähler-Einstein manifolds
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本文证明正 Kähler-Einstein 流形中余齐一 Lagrangian 平均曲率流长时间存在并光滑收敛到极小 Lagrangian，同时推广到几乎 Einstein 情形，获得 f-极小子流形的子收敛及解析情形下的光滑收敛。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了在闭的正 Kähler--Einstein 流形中，从闭的、嵌入的、余齐一的 Lagrangian 子流形出发的 Lagrangian 平均曲率流，在自然恰当性和正则性假设下，对所有时间存在，保持嵌入性，并光滑且图式地收敛到一个极小的 Lagrangian 子流形。我们还研究了 Behrndt 在 Kähler 流形中推广的 Lagrangian 平均曲率流，这些流形在 Ricci 形式满足 $\rho = C\omega + ndd^cf$ 且 $C>0$ 的意义下是几乎 Einstein 的。在关于流的类似假设下，我们获得了对 $f$-极小 Lagrangian 子流形的子收敛，并且在 $(M,g,f)$ 是解析的情形下，升级为光滑图式收敛。证明首先将流约化为紧致二维轨道流形上的加权曲线缩短流。然后我们建立了 Grayson 型有限时间奇点描述以及轨道流形情形下加权曲线缩短流的长时子收敛定理。最后，我们使用 Łojasiewicz--Simon 不等式论证将全流升级为光滑收敛。
英文摘要
We prove that Lagrangian mean curvature flow starting from a closed, embedded, cohomogeneity-one Lagrangian in a closed, positive Kähler--Einstein manifold exists for all time, remains embedded, and converges smoothly and graphically to a minimal Lagrangian, under natural exactness and regularity assumptions. We also study the generalised Lagrangian mean curvature flow of Behrndt in Kähler manifolds which are almost-Einstein in the sense that the Ricci form satisfies $ρ= Cω+ ndd^cf$, and which satisfy $C>0$. With analogous assumptions on the flow, we obtain subconvergence to an $f$-minimal Lagrangian submanifold, with an upgrade to smooth graphical convergence in the case that $(M,g,f)$ is analytic. The proof proceeds by first reducing the flow to a weighted curve shortening flow on a compact two-dimensional orbifold. We then establish both a Grayson-type description of finite-time singularities and a long-time subconvergence theorem for weighted curve shortening flow in the orbifold setting. Finally, we use a Łojasiewicz--Simon inequality argument to upgrade to smooth convergence of the full flow.
发表机构
- Tokyo University of Science（东京科学大学）
- Shibaura Institute of Technology（埼玉工业大学）
- King’s College London（伦敦国王学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
