发表机构
School of Mathematics and Maxwell Institute, University of Edinburgh（爱丁堡大学数学与麦克斯韦研究所）
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本文通过构造基于Lax算子谱数据的非线性傅里叶变换，证明了散焦Calogero–Sutherland导数非线性薛定谔方程在$L^2_+(\mathbb T)$上的完全可积性，将流化为显式旋转，并由此得出轨道预紧性、Bohr概周期性和有限间隙数据的拟周期性与周期性判据。
AI 中文摘要
我们通过构造非线性傅里叶变换 \begin{equation*} \Phi: u\in L^2_+(\mathbb T)\mapsto\\ (\zeta_n(u))_{n\geq 0}\in \ell^2(\mathbb N_0),\qquad \zeta_n(u)=\sqrt{\gamma_n(u)}\\;e^{\\,i\arg\langle u\mid f_n\rangle}, \end{equation*} 建立了散焦 Calogero–Sutherland 导数非线性薛定谔方程 \begin{equation}\label{CS-abstract}\tag{CS} i\partial_t u +\partial_x^2 u + 2i u \partial_x\\,\Pi\\!\left(|u|^2\right)=0,\qquad x\in\mathbb T, \end{equation} 的完全可积性，该变换由 Lax 算子 $L_u$ 的特征值 $(\lambda_n)$、谱间隙 $\gamma_n:=\lambda_n-\lambda_{n-1}-1\geq 0$ 和特征函数 $(f_n)$ 构造。我们证明 $\Phi$ 是一个保范同胚。在这些坐标下，流变为对所有 $n$ 的显式旋转 $\zeta_n(t)=e^{-i\omega_n t}\zeta_n(0)$，其频率 $\omega_n$ 仅依赖于守恒谱 $(\lambda_n)$。作为推论，\eqref{CS-abstract} 的每条轨道在 $L^2_+(\mathbb T)$ 中是预紧的，且 $t\mapsto u(t)$ 是 Bohr 概周期的。对于有限间隙数据，我们得到时间上的拟周期性和真正周期性的精确判据。
英文摘要
We establish the complete integrability of the defocusing Calogero--Sutherland derivative nonlinear Schrödinger equation \begin{equation}\label{CS-abstract}\tag{CS} i\partial_t u +\partial_x^2 u + 2i u \partial_x\,Π\!\left(|u|^2\right)=0,\qquad x\in\mathbb T, \end{equation} by constructing a nonlinear Fourier transform \begin{equation*} Φ: u\in L^2_+(\mathbb T)\mapsto\ (ζ_n(u))_{n\geq 0}\in \ell^2(\mathbb N_0),\qquad ζ_n(u)=\sqrt{γ_n(u)}\;e^{\,i\arg\langle u\mid f_n\rangle}, \end{equation*} built from the eigenvalues $(λ_n)$, the spectral gaps $γ_n:=λ_n-λ_{n-1}-1\geq 0$ and the eigenfunctions $(f_n)$ of the Lax operator $L_u$. We prove that $Φ$ is a norm-preserving homeomorphism. In these coordinates, the flow becomes the explicit rotation $ζ_n(t)=e^{-iω_n t}ζ_n(0)$ for all $n$, whose frequencies $ω_n$ depend only on the conserved spectrum $(λ_n)$. As consequences, every orbit of \eqref{CS-abstract} is precompact in $L^2_+(\mathbb T)$, and $t\mapsto u(t)$ is Bohr almost periodic. For finite-gap data, we obtain quasi-periodicity in time and a sharp criterion for genuine periodicity.
