发表机构
Nazarbayev University（纳扎尔巴耶夫大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究带表面张力的Whitham-Boussinesq系统，在非空化条件下建立了Cauchy问题的适定性，并给出了依赖所有参数的存在时间尺度，方法结合色散、Strichartz与能量估计。
AI 中文摘要
我们考虑一个带表面张力的Whitham-Boussinesq型系统，该系统作为浅水中弱非线性表面波双向传播的渐近模型出现，其特征由非线性参数$0<\epsilon\le 1$、浅水参数$0<\mu\le 1$和非负表面张力参数$\beta$刻画。本文中，我们在$\beta>1/3$时建立了相关Cauchy问题的适定性，时间尺度在一维情形下为$( \beta_\ast^{ 1/4} \mu^{ 1/4} h_0 \epsilon^{-1} )^{4/3}$阶，在二维情形下为$( \beta_\ast^{ 1/4} \mu^{ 1/4} h_0 \epsilon^{-1})^{2-}$阶，其中$\beta_\ast= \min(|3\beta-1|, 1/2)$，并假设一个带参数$h_0>0$的非空化条件。此外，我们还建立了经典Whitham方程在$\beta=0$或$\beta>1/3$时的适定性，时间尺度为$( \beta_\ast^{ 1/4} \mu^{ 1/4} \epsilon^{-1} )^{4/3}$阶。这些结果明确刻画了存在时间如何依赖于所有涉及的参数。我们的证明依赖于色散估计和Strichartz估计结合能量估计。
英文摘要
We consider a Whitham-Boussinesq type system with surface tension arising as asymptotic models in the bi-directional propagation of weakly nonlinear surface waves in shallow water, which is characterized by a nonlinearity parameter $0<ε\le 1$, a shallow water parameter $0<μ\le 1$ and a nonnegative surface tension parameter $β$. In this paper, we establish well-posedness of the associated Cauchy problem for $β>1/3$ on a time scale of order $ ( β_\ast^{ 1/4} μ^{ 1/4} h_0 ε^{-1} )^{4/3}$ in one dimension and of order $( β_\ast^{ 1/4} μ^{ 1/4} h_0 ε^{-1})^{2-}$ in two dimensions, where $β_\ast= \min(|3β-1|, 1/2)$, assuming a non-cavitation condition with a parameter $h_0>0$. In addition, we established well-posedness for the classical Whitham equation with either $β=0$ or $β>1/3$ on the timescale of order $ ( β_\ast^{ 1/4} μ^{ 1/4} ε^{-1} )^{4/3}$. These results explicitly capture how the existence time depends on all the parameters involved. Our proofs rely on dispersive and Strichartz estimates combined with energy estimates.
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