发表机构
Jiangxi University of Finance and Economics（江西财经大学）
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本文研究对数- Hardy算子的Dirichlet特征值问题，建立对数Hardy不等式，确定能量空间，证明参数大于-1时存在离散谱及特征函数基，并给出第一特征值的下界和尺度性质。
AI 中文摘要
本文研究了对数- Hardy算子的Dirichlet特征值问题，该算子定义为带有临界对数势的对数拉普拉斯算子，在包含原点的有界Lipschitz域中。我们首先建立了一个对数Hardy不等式，并利用它确定了相关的能量空间，证明了当扰动参数超过端点值-1时，到L^2的嵌入是紧的，但在该端点处嵌入不紧。对于参数大于-1的情况，我们发展了完整的变分谱理论，证明了该问题存在一个趋于无穷的离散特征值序列，其特征值通过正交补上的连续极小化来刻画，且特征函数构成L^2的完备标准正交基。我们进一步建立了第一特征值的统一下界，以及域伸缩下的尺度性质，该性质决定了第一特征值符号的临界半径，并保持特征值间隙不变。
英文摘要
In this paper, we study the Dirichlet eigenvalue problem for the logarithmic Hardy operator, defined as the logarithmic Laplacian with a critical logarithmic potential, in a bounded Lipschitz domain containing the origin. We first establish a logarithmic Hardy inequality and use it to identify the associated energy space, showing that the embedding into \(L^2\) is compact when the perturbation parameter exceeds the endpoint value \(-1\), but fails to be compact at that endpoint. For parameters above \(-1\), we develop a complete variational spectral theory, prove that the problem admits a discrete sequence of eigenvalues tending to infinity, characterized by successive minimizations over orthogonal complements, whose eigenfunctions form a complete orthonormal basis of \(L^2\). We further establish a uniform lower bound for the first eigenvalue, a scaling property under domain dilation that determines a critical radius for the sign of the first eigenvalue and leaves the eigenvalue gaps invariant.
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