求解单调变分不等式的最优高阶方法
Optimal High-Order Methods for Solving Monotone Variational Inequalities
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- Westlake University（西湖大学）
- the Chinese University of Hong Kong (Shenzhen)（香港中文大学（深圳））
- Institute for Interdisciplinary Information Sciences (IIIS), Tsinghua University（清华大学交叉信息研究院）
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中文总结 AI 辅助
本文针对光滑单调变分不等式，提出一种达到最优收敛速率 $\mathcal{O}(T^{-2.5})$ 的二阶方法，并推广到任意 $p$ 阶方法，速率匹配下界，填补了此前与下界之间的差距。
中文摘要 AI 辅助
我们研究求解光滑单调变分不等式（MVI）的二阶及更高阶方法。Monteiro 和 Svaiter（SIAM J. Optim., 2012）证明了二阶方法 NPE 以 $\mathcal{O}(T^{-1.5})$ 的速率收敛。对于凸-凹极小极大优化（MVI 问题的一个子类），Chen、Liu、Luo 和 Zhang（COLT 2025）最近将该速率改进为 $\tilde{\mathcal{O}}( T^{-1.75})$。然而，该结果与 Chen 等人（2026）建立的 $\Omega(T^{-2.5})$ 下界相比仍有较大差距。在本文中，我们提出了一种新颖的二阶方法，达到了最优速率 $\mathcal{O}(T^{-2.5})$。我们的算法还扩展到更高阶方法：对于任意整数 $ p \ge 1$，我们获得了一个 $p$ 阶方法，其收敛速率为 $\mathcal{O}(T^{-(3p-1)/2})$，与已知下界匹配，从而在所有阶数上建立了最优速率。
英文摘要
We study second- and higher-order methods for solving smooth monotone variational inequalities (MVI). Monteiro and Svaiter (SIAM J. Optim., 2012) showed that a second-order method, NPE, converges at a rate of $\mathcal{O}(T^{-1.5})$. For convex-concave minimax optimization, a subclass of MVI problems, Chen, Liu, Luo, and Zhang (COLT 2025) recently improved this rate to $\tilde{\mathcal{O}}( T^{-1.75})$. However, the result has a substantial gap compared to the lower bound of $Ω(T^{-2.5})$ established by Chen et al. (2026). In this paper, we propose a novel second-order method that achieves the optimal rate of $\mathcal{O}(T^{-2.5})$. Our algorithm also extends to higher-order methods: for any integer $ p \ge 1$, we obtain a $p$th-order method with a convergence rate of $\mathcal{O}(T^{-(3p-1)/2})$, matching the known lower bounds and therefore establishing optimal rates across all orders.
