发表机构
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics; Department of Computer Science and Information Theory, Budapest University of Technology and Economics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所; 布达佩斯科技大学计算机科学与信息论系）
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该论文证明了一个关于树偏序集的稳健嵌入定理：若集合族规模超过阈值，则必包含任意根爆破的弱副本，解决了相关猜想，并应用于计数、随机及反拉姆齐问题。
AI 中文摘要
树偏序集 $T$ 是其哈斯图为树的偏序集。Bukh 证明了如果族 $\mathcal F\subseteq 2^{[n]}$ 包含 $(h(T)-1+\varepsilon)\binom{n}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}$ 个集合，则 $\mathcal F$ 包含 $T$ 的弱副本，其中 $h(T)$ 是 $T$ 的高度，即 $T$ 中最长链的元素个数。该结果的若干加强和推广已被获得。我们证明了以下稳健变体。对于树偏序集 $T$ 和 $x\in T$，以 $x$ 为根的 $b$-爆破 $T(x,b)$ 是从 $T$ 中通过将每个元素 $u$ 替换为 $b^d$ 个新元素而得到的树偏序集，其中 $d$ 是 $T$ 的哈斯图中 $x$ 与 $u$ 的距离 $d(x,u)$，并且将边 $uv$（其中 $v$ 更接近 $x$）替换为边，使得 $v$ 的每个新副本连接到 $u$ 的 $b$ 个新副本，且这些新副本对于 $v$ 的副本形成两两不相交的集合。我们证明对于任何树偏序集 $T$、$x\in T$ 和 $\varepsilon>0$，存在 $\delta$ 使得如果 $\mathcal F\subseteq 2^{[n]}$ 包含 $(h(T)-1+\varepsilon)\binom{n}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}$ 个集合，则 $\mathcal F$ 包含 $T(x,\lfloor \delta n\rfloor)$ 的弱副本。这解决了 Treglown 和作者的猜想。作为应用，我们从这一更强的嵌入结果推导出 Bukh 定理的已知渐近计数和随机版本，并获得树偏序集的新的极大反拉姆齐结果。
英文摘要
A tree poset $T$ is a poset whose Hasse diagram is a tree. Bukh proved that if a family $\mathcal F\subseteq 2^{[n]}$ contains $(h(T)-1+\varepsilon)\binom{n}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}$ sets, then $\mathcal F$ contains a weak copy of $T$, where $h(T)$ is the height of $T$, the number of elements in a longest chain of $T$. Several strengthenings and generalizations of this result have been obtained. We prove the following robust variant. For a tree poset $T$ and $x\in T$, the $b$-blow-up $T(x,b)$ rooted at $x$ is the tree poset that we obtain from $T$ by replacing every element $u$ by $b^d$ new elements, where $d$ is the distance $d(x,u)$ in the Hasse diagram of $T$ and an edge $uv$ with $v$ being closer to $x$ is replaced by edges such that every new copy of $v$ is joined to $b$ new copies of $u$ such that these new copies form pairwise disjoint sets for the copies of $v$. We prove that for any tree poset $T$, $x\in T$, and $\varepsilon>0$ there exists $δ$ such that if $\mathcal F\subseteq 2^{[n]}$ contains $(h(T)-1+\varepsilon)\binom{n}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}$ sets, then $\mathcal F$ contains a weak copy of $T(x,\lfloor δn\rfloor)$. This settles a conjecture of Treglown and the author. As applications, we derive the known asymptotic counting and random versions of Bukh's theorem from this stronger embedding result, and obtain new maximal anti-Ramsey results for tree posets.
