发表机构
School of Mathematical Sciences, South China Normal University（华南师范大学数学科学学院）
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本文研究图集合的彩虹泛圈性，给出边数与谱半径的充分条件，并刻画例外情况，将彩虹哈密顿性结果推广至彩虹泛圈性。
AI 中文摘要
设 $\mathbf{G}=\{G_1,\dots,G_{n}\}$ 为具有公共顶点集 $V$ 的 $n$ 个顶点图（不必互不相同）的集合。若存在单射 $\phi\colon E(C)\to [n]$ 使得对每条边 $e\in E(C)$ 有 $e\in E(G_{\phi(e)})$，则称满足 $V(C)\subseteq V$ 且 $|E(C)|\leq n$ 的圈 $C$ 在 $\mathbf{G}$ 中是彩虹的。若图集合 $\mathbf{G}$ 包含从 3 到 $n$ 的所有长度的彩虹圈，则称其为彩虹泛圈的。本文证明：若对每个 $i\in[n]$（$n\ge 3$）有 $e(G_i)\ge \binom{n-1}{2}+1$，则 $\mathbf{G}$ 是彩虹泛圈的，除非存在三个明确描述的例外图集合。这回答了 [Discrete Math., \textbf{348}(2025), 114600] 中的问题 1，并将结果从彩虹哈密顿性加强到彩虹泛圈性。作为推论，若对每个 $i\in[n]$ 有 $\rho(G_i)>n-2$，则 $\mathbf{G}$ 是彩虹泛圈的，除非 $G_1=G_2=\dots=G_n\cong K_1\vee(K_{n-2}\cup K_1)$，这改进了 [Discrete Math., \textbf{348}(2025), 114600] 中的定理 5。我们还刻画了在 $\rho(G_i)\ge n-2$（对每个 $i\in[n]$）条件下所有非彩虹泛圈的图集合。
英文摘要
Let $\mathbf{G}=\{G_1,\dots,G_{n}\}$ be a collection of not necessarily distinct $n$-vertex graphs with a common vertex set $V$. A cycle $C$ with $V(C)\subseteq V$ and $|E(C)|\leq n$ is called \emph{rainbow} in $\mathbf{G}$, if there exists an injection $ϕ\colon E(C)\to [n]$ such that $e\in E(G_{ϕ(e)})$ for each $e\in E(C)$. The graph collection $\mathbf{G}$ is said to be \emph{rainbow pancyclic} if it contains a rainbow cycle of every length from 3 to $n$. In this paper, we show that if $e(G_i)\ge \binom{n-1}{2}+1$ for each $i\in[n]$ with $n\ge 3$, then $\mathbf{G}$ is rainbow pancyclic, apart from three explicitly described exceptional graph collections. This answers Problem $1$ of [Discrete Math., \textbf {348}(2025), 114600] and strengthens the result from rainbow Hamiltonicity to rainbow pancyclicity. As a consequence, we obtain that if $ρ(G_i)>n-2$ for each $i\in[n]$, then $\mathbf{G}$ is rainbow pancyclic unless $G_1=G_2=\dots=G_n\cong K_1\vee(K_{n-2}\cup K_1)$, which improves Theorem $5$ of [Discrete Math., \textbf {348}(2025), 114600]. We also characterize all graph collections that are not rainbow pancyclic under the condition $ρ(G_i)\ge n-2$ for each $i\in[n]$.
