完整黎曼流形上Riesz变换的Coulhon--Duong猜想
The Coulhon--Duong conjecture for the Riesz transform on complete Riemannian manifolds
AI总结：
本文证明了完备非紧黎曼流形上Riesz变换的弱型$(1,1)$有界性（常数为2），进而推出$L^p$有界性，解决了Coulhon--Duong猜想，方法基于障碍分解与Sobolev微分局部性。
AI中文摘要：
设$M$是一个完备、非紧的黎曼流形。我们证明其Riesz变换是弱型$(1,1)$的，且对实值函数常数为$2$。因此，它在$1<p\leq2$时在$L^p(M)$上有界，常数仅依赖于$p$，这证明了Coulhon--Duong猜想。证明使用了具有次马尔可夫半群的正自伴算子的障碍分解。将此分解应用于平移的平方根拉普拉斯算子，并利用Sobolev微分的局部性，无需几何或热核假设即可得到端点估计。我们还获得了容许局部希尔伯特微分演算的Dirichlet空间的相应结果。
英文摘要：
Let $M$ be a complete, non-compact Riemannian manifold. We prove that its Riesz transform is of weak type $(1,1)$, with constant $2$ for real-valued functions. Consequently, it is bounded on $L^p(M)$ for $1<p\leq2$, with constants depending only on $p$, which proves the Coulhon--Duong conjecture. The proof uses an obstacle decomposition for positive self-adjoint operators with sub-Markovian semigroups. Applying this decomposition to the shifted square-root Laplacian and using locality of the Sobolev differential yields the endpoint estimate without geometric or heat kernel assumptions. We also obtain the corresponding result for Dirichlet spaces admitting a local Hilbertian differential calculus.
