$\partial\bar\partial$-性质的双亚纯不变性与 blow-up 公式 I：反例与导出范畴方法
Bimeromorphic invariance of $\partial\bar\partial$-property and blow-up formulae I: counterexamples and derived category approach
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中文总结 AI 辅助
本文通过构造反例否定 $\partial\bar\partial$-引理的遗传性，并建立导出 blow-up 公式，引入相对性质与判据，揭示经典公式的局限。
中文摘要 AI 辅助
利用 N. Honda 的扭子空间构造、三维流形的 $\partial\bar\partial$-引理的双亚纯不变性以及嵌入消解，我们找到了一个满足 $\partial\bar\partial$-引理的光滑紧致复三维流形，其中包含一个使该引理失效的光滑紧致曲面。这否定了最小可能环境维数中的遗传性，并在每个至少为四的复维数中给出了 L. Alessandrini 修正问题的反例。我们建立了带系数的广义 Bott--Chern 复形的导出 blow-up 公式，该公式与到系数上同调的比较映射相容。我们还获得了带界导出系数的 Dolbeault blow-up 公式。对于紧致复流形，我们引入了相对 $\partial\bar\partial$-性质，利用 Frölicher 谱序列和 Hodge 滤过对其进行了刻画，并证明了一个 blow-up 判据。最后，反例显示了经典公式在相干系数和奇异环境空间中的局限性，以及朴素 Bott--Chern Künneth 公式的失效。
英文摘要
Using N. Honda's construction of twistor spaces, bimeromorphic invarince of $\partial\bar\partial$-lemma for threefolds and embedded resolution, we find a smooth compact complex threefold satisfying the $\partial\bar\partial$-lemma that contains a smooth compact surface for which the lemma fails. This disproves heredity in the smallest possible ambient dimension and yields counterexamples to L. Alessandrini's modification question in every complex dimension at least four. We establish a derived blow-up formula for generalized Bott--Chern complexes with coefficients, compatible with the comparison maps to coefficient cohomology. We also obtain a Dolbeault blow-up formula with bounded derived coefficients. For compact complex manifolds, we introduce a relative $\partial\bar\partial$-property, characterize it using the Frölicher spectral sequence and Hodge filtrations, and prove a blow-up criterion. Finally, counterexamples show the limitations of the classical formulae for coherent coefficients and singular ambient spaces, and the failure of the naive Bott--Chern Künneth formula.
发表机构
- School of Mathematics and statistics, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）
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