发表机构
University of Warsaw（华沙大学）
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本文证明在周期势下，强不定薛定谔方程对大散焦参数存在非平凡解，并给出解的范数界及弱收敛性质。
AI 中文摘要
设$N\geq 3$，$2<q<p<2^*$，且$V\in L^\infty(\mathbb{R}^N)$为实值且$\mathbb{Z}^N$-周期函数。我们假设$0$属于周期薛定谔算子$L=-\Delta+V$的一个有限谱隙。我们证明存在$\lambda_\infty>0$，使得对每个$\lambda\geq\lambda_\infty$，竞争幂方程$$ -\Delta u+V(x)u=|u|^{p-2}u-\lambda |u|^{q-2}u \quad\text{in }\mathbb{R}^N $$在$H^1(\mathbb{R}^N)$中存在非平凡解$u_\lambda$。此外，$$ \\|u_\lambda\\|_{H^1(\mathbb{R}^N)}+\\|u_\lambda\\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N)} \leq C\lambda^{-1/(q-2)}。 $$我们还证明，在自然重标度和晶格平移之后，此类解的一个序列弱收敛到纯散焦方程$Lv=-|v|^{q-2}v$的一个非平凡解。
英文摘要
Let $N\geq 3$, $2<q<p<2^*$, and let $V\in L^\infty(\mathbb{R}^N)$ be real-valued and $\mathbb{Z}^N$-periodic. We assume that $0$ belongs to a finite spectral gap of the periodic Schrödinger operator $L=-Δ+V$. We prove that there exists $λ_\infty>0$ such that, for every $λ\geqλ_\infty$, the competing-power equation $$ -Δu+V(x)u=|u|^{p-2}u-λ|u|^{q-2}u \quad\text{in }\mathbb{R}^N $$ has a nontrivial solution $u_λ\in H^1(\mathbb{R}^N)$. Moreover, $$ \|u_λ\|_{H^1(\mathbb{R}^N)}+\|u_λ\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N)} \leq Cλ^{-1/(q-2)}. $$ We also show that, after the natural rescaling and lattice translations, a sequence of such solutions converges weakly to a nontrivial solution of the pure defocusing equation $Lv=-|v|^{q-2}v$.
