关于正则 Mac Lane-Vaquié 链

中文摘要 AI 辅助

设 $(K^h,v^h)$ 是赋值域 $(K,v)$ 的亨泽尔化，$\mu$ 是 $v$ 到 $K[x]$ 的任意扩张，$\mu^h$ 是 $\mu$ 和 $v^h$ 到 $K^h[x]$ 的典范扩张。本文研究了与 $\mu$ 的 Mac Lane-Vaquié 链（MLV）相关的两个新不变量，即每个增广步骤的亏格（defect）以及 $\mu$ 的 MLV 链的正则性。这进而将 $\mu$ 的抽象关键多项式完全序列的正则性概念推广到 $\mu$ 本身的正则性。我们还证明了 $\mu$ 的正则性是 $\mu$ 与 $\mu^h$ 的深度相等的充分条件。此外，它也是 $\mu$ 的 MLV 链的每个增广步骤的亏格和相对间隙相等的充要条件。最后，我们证明若 $\mu$ 具有有限次数，则 $\mu$ 的正则性等价于 $\operatorname{deg}(\mu)=\operatorname{deg}(\mu^h)$。

英文摘要

Let $(K^h,v^h)$ be a Henselization of a valued field $(K,v)$, $μ$ any extension of $v$ to $K[x]$, and $μ^h$ the canonical extension of $μ$ and $v^h$ to $K^h[x].$ In this paper, we study two new invariants associated with a Mac Lane-Vaquié chain (MLV) of $μ$, namely, the defect of each augmentation step and the regularity of an MLV chain of $μ$. This, in turn, extends the notion of regularity of a complete sequence of abstract key polynomials for $μ$ to the regularity of $μ$ itself. We also prove that the regularity of $μ$ is a sufficient condition for the equality of the depths of $μ$ and $μ^h$. Furthermore, it is a necessary and sufficient condition for the equality of the defect and relative gap of each augmentation step of an MLV chain of $μ.$ Finally, we show that if $μ$ has finite degree, then the regularity of $μ$ is equivalent to $ \operatorname{deg}(μ)=\operatorname{deg}(μ^h)$.

发表机构

• University of Delhi（德里大学）

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