Euler--Zagier 二重 zeta 函数均方公式中的低阶项与正则化多重 zeta 值
Lower-order terms in mean-square formulas for the Euler--Zagier double zeta-function and regularized multiple zeta values
- Faculty of Science and Technology, Oita University（大分大学理工学部）
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AI总结：
本文研究 Euler--Zagier 二重 zeta 函数在第二变量垂直移动时的均方，改进先前结果，获得余项为 o(T) 的渐近公式，并揭示常数与多重 zeta 值及调和正则化多重 zeta 值的联系。
AI中文摘要：
我们研究当第二个变量垂直移动时 Euler--Zagier 二重 zeta 函数的均方。此前，Matsumoto 和 Tsumura 以及 Ikeda、Matsuoka 和 Nagata 在绝对收敛区域内及其外部获得了均方公式。特别是，后者确定了以下三个边界情形中的首项：\\[ \zeta_2\left(1+a,\frac12+it\right),\qquad \zeta_2\left(1+ib,\frac12+it\right),\qquad \zeta_2\left(1-a,\frac12+a+it\right), \\] 其中 $a\in\mathbb C$ 且 $\Re a>0$，$b\in\mathbb R$ 为固定常数。第一和第三种情形以及第二种情形中 $b\neq0$ 时的均方首项阶为 $T\log T$。当 $b=0$ 时，第二种情形退化为角点 $(1,1/2)$，其首项阶为 $T(\log T)^3$。在本文中，我们通过获得余项为 $o(T)$ 的渐近公式来改进这些结果。在 $b\neq0$ 的情形中，会出现一个阶为 $T$ 的额外振荡项。我们还证明，在参数点 $(s_1,\sigma_2)=(k,\ell/2)$（其中整数 $k\geq1$，$\ell\geq2$）处，均方公式中乘以 $T$ 的常数是多重 zeta 值的线性组合。在边界点 $(k,1/2)$（整数 $k\geq1$）处，相应发散级数的调和有限部分用调和正则化多重 zeta 值表示。
英文摘要：
We study the mean square of the Euler--Zagier double zeta-function when the second variable moves vertically. Mean-square formulas in and beyond the region of absolute convergence were previously obtained by Matsumoto and Tsumura and by Ikeda, Matsuoka and Nagata. In particular, the latter authors determined the leading terms in the following three boundary cases: \[ ζ_2\left(1+a,\frac12+it\right),\qquad ζ_2\left(1+ib,\frac12+it\right),\qquad ζ_2\left(1-a,\frac12+a+it\right), \] where $a\in\mathbb C$ with $\Re a>0$ and $b\in\mathbb R$ are fixed. The mean squares in the first and third cases, as well as in the second case when $b\neq0$, have leading terms of order $T\log T$. When $b=0$, the second case reduces to the corner $(1,1/2)$, where the leading term is of order $T(\log T)^3$. In the present paper, we refine these results by obtaining asymptotic formulas with remainder $o(T)$. In the case $b\neq0$, an additional oscillatory term of order $T$ occurs. We also show that, at the parameter points $(s_1,σ_2)=(k,\ell/2)$ with integers $k\geq1$ and $\ell\geq2$, the constant multiplying $T$ in the mean-square formula is a linear combination of multiple zeta values. At the boundary points $(k,1/2)$ with integers $k\geq1$, the harmonic finite parts of the corresponding divergent sums are expressed in terms of harmonic regularized multiple zeta values.
