Bliss-Moser型不等式极值函数的存在性与不存在性
Existence and non-existence of extremal functions for inequalities of Bliss-Moser type
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- Wuhan University of Science and Technology（武汉科技大学）
- Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
- Istituto Lombardo - Accademia di Scienze e Lettere（伦巴第研究所 - 科学与文学学院）
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中文总结 AI 辅助
本文针对带对数权重的奇异Moser型泛函建立集中-紧致理论，解决次临界紧致性开放问题，并刻画临界Bliss-Moser不等式在任意线性扰动下的尖锐集中水平与可达性条件。
中文摘要 AI 辅助
我们为带对数权重函数的一维奇异Moser型泛函建立了集中-紧致理论：$$\sup\limits_{v\in E }\int_0^1 e^{\left(\log\frac{e}{s}+\gamma\log\log\frac{e}{s}\right)\frac{v^2(s)}{s}}ds<\infty,~\gamma\in[0,1],$$ 其中 $$E:= \left\{u \in H^{1}(0, 1): u(0) = 0, \int_0^1 |u'|^2dx=1\right\}.$$ 特别地，我们证明了在次临界范围$\gamma<1$内所有归一化序列的紧致性，从而解决了[J. M. do Ó, B. Ruf and P. Ubilla, CVPDE 2023]中提出的一个开放问题。我们还研究了临界Bliss-Moser不等式：\begin{equation}\nonumber \sup\limits_{v\in E }I^c(v)< +\infty,\quad I^c(v)=\int_0^1 e^{\left(\log\frac{e}{s}+\log\log\frac{e}{s}+cs\right)\frac{v^2(s)}{s}}ds. \end{equation} 对于任意$c\in(-\infty,+\infty)$，我们确定了尖锐的集中水平 $$\sup_{v_j\in E,v_j~\text{is~NCS}}\limsup\limits_{j\to\infty} I^c(v_j)=1+e^2,$$ 并在$c>c^*$时获得了可达性的显式充分条件，在$c<-c_*$时获得了不可达性的显式充分条件。这些结果描述了线性扰动如何在临界水平上支配紧致性、集中性和可达性之间的转换。
英文摘要
We establish a concentration--compactness theory for a one-dimensional singular Moser-type functional with logarithmic weight function $$\sup\limits_{v\in E }\int_0^1 e^{\left(\log\frac{e}{s}+γ\log\log\frac{e}{s}\right)\frac{v^2(s)}{s}}ds<\infty,~γ\in[0,1],$$ where $$E:= \left\{u \in H^{1}(0, 1): u(0) = 0, \int_0^1 |u'|^2dx=1\right\}.$$ In particular, we prove compactness for all normalized sequences in the subcritical range $γ<1$, thereby resolving an open problem proposed in [J. M. do Ó, B. Ruf and P. Ubilla, CVPDE 2023]. We also study the critical Bliss-Moser inequality: \begin{equation}\nonumber \sup\limits_{v\in E }I^c(v)< +\infty,\quad I^c(v)=\int_0^1 e^{\left(\log\frac{e}{s}+\log\log\frac{e}{s}+cs\right)\frac{v^2(s)}{s}}ds. \end{equation} For any $c\in(-\infty,+\infty)$, we determine the sharp concentration level $$\sup_{v_j\in E,v_j~\text{is~NCS}}\limsup\limits_{j\to\infty} I^c(v_j)=1+e^2,$$ and obtain explicit sufficient conditions for attainability under $c>c^*$ and non-attainability under $c<-c_*$. This results describe how linear perturbations govern the transition between compactness, concentration, and attainability at the critical level.
