AI 中文总结
本文证明任意维环面在临界维数下存在自由映射，通过乘积构造与四元数乘法构造交叉自由映射，结合低维情形归纳得出。\n
AI 中文摘要
$m$ 维流形上自由映射的临界维数为 $q_m=m(m+3)/2$。我们证明对每个 $m\ge 1$，有 $Free^\infty(\mathbb{T}^m,\mathbb{R}^{q_m})\neq\emptyset$。主要工具是乘积构造：给定 $\mathbb{T}^a$ 和 $\mathbb{T}^b$ 上临界维数的自由映射，以及 $\mathbb{T}^a\times \mathbb{T}^b$ 上的交叉自由映射（其混合 Hessian 处处可逆），我们得到 $\mathbb{T}^{a+b}$ 上临界维数的自由映射，其密切矩阵为块三角形式。交叉自由映射在每个自变量上是可加的，且在环面情形下，当一个因子为一维时不存在这样的映射。我们利用四元数乘法在 $\mathbb{T}^2\times \mathbb{T}^2$ 和 $\mathbb{T}^3\times\mathbb{T}^4$ 上构造了显式的交叉自由映射。结合作者先前出版物中显式构造的低维情形 $m\leq 5$，这些结果通过归纳法得出所述结论。
英文摘要
The critical dimension for free maps on m-manifolds is $q_m=m(m+3)/2$. We show that $Free^\infty(\mathbb{T}^m,\mathbb{R}^{q_m})\neq\emptyset$ for every $m\ge 1$. The main tool is a product construction: given free maps in critical dimension on $\mathbb{T}^a$ and on $\mathbb{T}^b$, together with a cross-free map on $\mathbb{T}^a\times \mathbb{T}^b$, whose mixed Hessian is invertible everywhere, we obtain a free map in critical dimension on $\mathbb{T}^{a+b}$, the osculating matrix of the product being block-triangular. Cross-free maps are additive in each argument, and in the torus setting none exists when one factor is one-dimensional. We construct explicit cross-free maps on $\mathbb{T}^2\times \mathbb{T}^2$ and on $\mathbb{T}^3\times\mathbb{T}^4$ using quaternionic multiplication. Combined with the low-dimensional cases $m\leq 5$, constructed explicitly by the author in a previous publication, these yield the result by induction.
Comments9 pages, no figures
