Pólya--Szegö 猜想关于多边形扭转刚度的局部版本的证明
Proof of the local version of the Pólya--Szegö conjecture for the torsional rigidity of polygons
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中文总结 AI 辅助
本文解析地证明了 Pólya--Szegö 猜想局部版本：正 n 边形（n≥5）在给定面积的凸 n 边形中是扭转刚度的严格局部极大值，通过三角覆盖与加权 Voronoi 划分及两个关键性质实现。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了 Pólya--Szegö 猜想关于多边形扭转刚度的局部版本：对于每个 \\(n\geq5\\)，正 \\(n\\) 边形是给定面积的凸 \\(n\\) 边形中扭转刚度的严格局部极大值点。我们的证明完全是解析的。它建立在由 Solynin 和 Zalgaller 启发的局部稳定的比例三角覆盖以及相关的加权 Voronoi 型划分之上，并结合了对将重叠三角形截断到划分单元所产生的损失的定量渐近分析。该结果通过建立两个关键要素获得：等腰三角形在固定面积和顶角下对混合扭转刚度的最优性，以及等腰三角形混合扭转刚度的严格凹性性质。
英文摘要
We prove the local version of the Pólya--Szegö conjecture for the torsional rigidity of polygons: for every \(n\geq5\), the regular $n$-gon is a strict local maximizer of torsional rigidity among convex $n$-gons of prescribed area. Our proof is entirely analytic. It builds on a locally stable proportional triangular covering inspired by Solynin and Zalgaller and an associated weighted Voronoi-type partition, together with a quantitative asymptotic analysis of the loss produced by truncating the overlapping triangles to the partition cells. The result is then obtained by establishing two key ingredients: the optimality of isosceles triangles for mixed torsional rigidity at fixed area and vertex angle, and a strict concavity property of the mixed torsional rigidity of isosceles triangles.
发表机构
- Aurel Vlaicu University of Arad（阿拉德奥雷尔·弗莱库大学）
- Université Savoie Mont Blanc（萨瓦蒙布朗大学）
- Politecnico di Milano（米兰理工大学）
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