发表机构
Kobe University; Hetao Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences; Wuhan University; Hebei University of Technology（神户大学; 河套国际数学与交叉科学研究院; 武汉大学; 河北工业大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究线性系统时间最优控制中，单点目标与容忍球目标最优控制精确兼容（即精确截断）的条件，证明其等价于系统矩阵满足特定刚性条件及最小时间函数的径向性，并给出显式结果。
AI 中文摘要
我们考虑线性系统 $$ \dot{z}(t)=Az(t)+Bu(t),\qquad \\|u\\|_{L^\infty(0,\infty;\mathbb{R}^m)}\leq 1, $$ 的最小时间控制问题，其中 $A\in\mathbb R^{n\times n}$，$B\in\mathbb R^{n\times m}$。尽管单点目标问题和球目标问题都是经典的，我们研究一个不同的问题：何时它们的最优控制是精确兼容的，即对于每个非零初始状态 $x$ 和所有足够小的 $\varepsilon>0$，针对容忍球 $\overline{B}_\varepsilon(0)$ 的最优控制恰好是单点目标最优控制的限制？我们证明这种“精确截断”性质等价于刚性条件 $$ B B^\top=\beta I_n,\qquad A+A^\top=2aI_n, \qquad \beta>0,\\; a\leq 0, $$ 并且也等价于单点目标最小时间函数的欧几里得径向性。因此，精确截断恰好发生在单点目标最小时间函数的子水平集是以原点为中心的欧几里得球时，这与容忍目标的几何形状相匹配。此外，局部性质自动扩展到每个 $0<\varepsilon<|x|$，并且由此产生的最优时间和单点目标最优反馈都是显式的。
英文摘要
We consider minimum-time control for the linear system $$ \dot{z}(t)=Az(t)+Bu(t),\qquad \|u\|_{L^\infty(0,\infty;\mathbb{R}^m)}\leq 1, $$ with $A\in\mathbb R^{n\times n}$ and $B\in\mathbb R^{n\times m}$. While the individual point-target and ball-target problems are classical, we study a different question: when are their optimal controls exactly compatible, in the sense that, for every nonzero initial state $x$ and all sufficiently small $\varepsilon>0$, the optimal control for the tolerance ball $\overline{B}_\varepsilon(0)$ is precisely the restriction of the point-target optimal control? We prove that this {\it{exact truncation}} property is equivalent to the rigidity conditions $$ B B^\top=βI_n,\qquad A+A^\top=2aI_n, \qquad β>0,\; a\leq 0, $$ and also to Euclidean radiality of the point-target minimum-time function. Thus exact truncation holds precisely when the sublevel sets of the point-target minimum-time function are Euclidean balls centered at the origin, matching the geometry of the tolerance targets. Moreover, the local property automatically extends to every $0<\varepsilon<|x|$, and the resulting optimal times and point-target optimal feedback are both explicit.
Comments24 pages, 4 figures
