AI 中文总结
本文研究等差数列中素因子计数函数的矩的渐近行为，推广了 Turán 定理，给出了关于算术级数中不同素因子个数的渐近公式。
AI 中文摘要
设 $m\geq 1$ 为固定整数，$a$ 为满足 $(a,m)=1$ 的整数，$z\geq 1$ 为实数参数。记 $\omega_{z}(n;m,a)$ 为 $n$ 的满足 $p\equiv a\\ (m)$ 且 $p\leq z$ 的不同素因子 $p$ 的个数。我们研究当 $x\to\infty$ 时，对于广泛的正整数 $k\geq 2$，和式 $\sum_{n\leq x}\left(\omega_{z}(n;m,a)-\frac{1}{\varphi(m)}\log\log z\right)^{k}$ 的渐近行为，其中 $\varphi(\cdot)$ 为欧拉函数。遵循 Granville 和 Soundararajan 的方法，我们导出上述和式的渐近公式。此外，我们还研究 $\sum_{n\leq x}\left(\omega(n;m,a)-\frac{1}{\varphi(m)}\log\log x\right)^{k}$，其中 $\omega(n;m,a)$ 表示 $n$ 的满足 $p\equiv a\\ (m)$ 的不同素因子 $p$ 的个数。
英文摘要
Let $m\geq 1$ be a fixed integer, $a$ an integer satisfying $(a,m)=1$, and $z\geq 1$ a real parameter. Denote by $ω_{z}(n;m,a)$ the number of distinct prime divisors $p$ of $n$ satisfying $p\equiv a\, (m)$ and $p\leq z$. We study an asymptotic behaviour of $\sum_{n\leq x}\left(ω_{z}(n;m,a)-\frac{1}{φ(m)}\log\log z\right)^{k}$ as $x\to\infty$ for a wide range of positive integer $k\geq 2$, where $φ(\cdot)$ is the Euler function. Following a method of Granville and Soundararajan we lead an asymptotic formula for the above. Also, we investigate $\sum_{n\leq x}\left(ω(n;m,a)-\frac{1}{φ(m)}\log\log x\right)^{k}$, where $ω(n;m,a)$ denotes the number of distinct prime divisors $p$ of $n$ such that $p\equiv a\, (m)$.
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