关于小素数的 Turán 定理
On a Turán's theorem for small primes
中文总结 AI 辅助
本文基于 Granville 和 Soundararajan 的方法，针对受限小素数计数函数 $\omega_z(n)$，在特定条件下推导了奇数阶矩的渐近公式，并给出了方法框架。
中文摘要 AI 辅助
设 $\omega(n)$ 表示自然数 $n$ 的不同素因子的个数。2007 年，Granville 和 Soundararajan 给出了一种相当新的方法，用于计算在较大范围的整数 $k\geq 2$ 上的高阶矩 $\sum_{n\leq x}(\omega(n)-\log\log x)^{k}$。在本文中，我们将该方法应用于 $\omega_{z}(n)$，它表示 $n$ 的不超过 $z$ 的不同素因子的个数。特别地，对于奇数 $k\geq 3$，在 $k$、$z$ 和 $x$ 满足一定限制的条件下，我们推导出 $\sum_{n\leq x}(\omega_{z}(n)-\log\log z)^{k}$ 的渐近公式。此外，我们还提及了该方法的一个框架。
英文摘要
Denote by $ω(n)$ the number of distinct prime divisors of the natural number $n$. In 2007, Granville and Soundararajan gave a quite new method to compute the higher moments $\sum_{n\leq x}(ω(n)-\log\log x)^{k}$, for a wide range of integers $k\geq 2$. In this notes, we shall apply the method for $ω_{z}(n)$ which denotes the number of distinct prime divisors $\leq z$ of $n$. Especially, for odd integers $k\geq 3$, we lead asymptotic formulas for $\sum_{n\leq x}(ω_{z}(n)-\log\log z)^{k}$, under certain restrictions on $k$, $z$, and $x$. Also, we refer to a framework of the approach.
