发表机构
School of Mathematics and Statistics, Gansu Center for Applied Mathematics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院、甘肃省应用数学中心）
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本文证明 lopsided 集的 tope 图与 daisy 立方体共享立方多项式，给出显式表达式，并刻画了此类图的等价条件。
AI 中文摘要
立方多项式 $C_G(x)$ 生成图 $G$ 上 $k$-立方体的数量。作为部分立方体（partial cubes）的一个子类，lopsided 集（LOPs）的 tope 图推广了 daisy 立方体和中间图（median graphs）。在本文中，我们证明了每个 LOP 的 tope 图与某个 daisy 立方体共享其立方多项式，从而肯定地回答了作者先前提出的一个问题。此外，我们给出了 LOP 的 tope 图的立方多项式的显式表达式：$C_G(x)=f_\mathcal{K}(x+1)$，其中 $f_\mathcal{K}(x)$ 是 $G$ 的立方复形 $\mathcal{K}$ 的 $f$-多项式。最后，我们证明了一类部分立方体 $\mathcal{G}$ 是 LOP 的 tope 图的类，当且仅当以下等价条件成立：(a) $\mathcal{G}$ 是极大的 pc-次闭类，使得 $\mathcal{G}$ 中的每个图与某个 daisy 立方体具有相同的立方多项式；(b) 对于每个 $G\in\mathcal{G}$，$G$ 的每个对径子图与某个 daisy 立方体具有相同的立方多项式。
英文摘要
The cube polynomial $C_G(x)$ generates the number of $k$-cubes on a graph $G$. As a subclass of partial cubes, the tope graphs of lopsided sets (LOPs) generalize daisy cubes and median graphs. In this paper, we prove that every tope graph of a LOP shares its cube polynomial with some daisy cube, thereby answering affirmatively a problem posed earlier by the authors. Furthermore, we present explicit expressions for the cube polynomials of tope graphs of LOPs: $C_G(x)=f_\mathcal{K}(x+1)$, where $f_\mathcal{K}(x)$ is the $f$-polynomial of the cubical complex $\mathcal{K}$ of $G$. Finally, we show that a class $\mathcal{G}$ of partial cubes is the class of tope graphs of LOPs if and only if the following equivalent conditions hold: (a) $\mathcal{G}$ is the maximal pc-minor-closed class such that every graph in $\mathcal{G}$ has the same cube polynomial as some daisy cube; (b) for every $G\in\mathcal{G}$, each antipodal subgraph of $G$ has the same cube polynomial as some daisy cube.
