发表机构
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
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本文证明$\mathbb{CP}^2$中光滑1-凸区域的第一Dirichlet特征函数满足定量对数凹估计，从而严格对数凹，并推出水平集凸性与基本间隙下界$46/5$。
AI 中文摘要
我们研究了$\mathbb{CP}^2$中区域上第一Dirichlet特征函数的对数凹性。对于每个光滑的$1$-凸区域$\Omega\subset\mathbb{CP}^2$，我们证明了其第一Dirichlet特征函数$u$满足定量估计\\[ \nabla^2(-\log u) > \max\left\{\psi(s),\frac85\right\}g, \text{ 其中 } \psi(|\grad f|^2) = \frac{s}{\sqrt{1+s}}-\log(1+s), \\] 特别地，$u$是严格对数凹的。作为推论，我们获得了$u$的正则水平集的均匀凸性估计以及基本间隙界$\lambda_2-\lambda_1>46/5$。
英文摘要
We study the log-concavity property of first Dirichlet eigenfunctions on domains in $\mathbb{CP}^2$. For every smooth $1$-convex domain $Ω\subset\mathbb{CP}^2$, we prove the quantitative estimate \[ \nabla^2(-\log u) > \max\left\{ψ(s),\frac85\right\}g, \text{ where } ψ(|\grad f|^2) = \frac{s}{\sqrt{1+s}}-\log(1+s), \] for its first Dirichlet eigenfunction $u$. In particular, $u$ is strictly log-concave. As consequences, we obtain a uniform convexity estimate for the regular level sets of $u$ and the fundamental gap bound $λ_2-λ_1>46/5$.
