P3-凸性中竞赛图的区间数
Interval number for tournaments in P3-convexity
- University of São Paulo（圣保罗大学）
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AI总结：
本文研究竞赛图在两种P3凸性下的区间数计算复杂性，证明其参数化版本为W[2]-完全，并给出对数上界及NP-中间性结果。
AI中文摘要：
我们研究了在 $\overrightarrow{P_3}$ 和 $\overrightarrow{P_3^*}$ 凸性下确定竞赛图区间数的复杂性，分别记为 $\overrightarrow{\mathrm{in}}_{P_3}(T)$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{in}}_{P_3^*}(T)$，其中 $T$ 为竞赛图。对于每个 $\overrightarrow{\mathcal{X}} \in \{\overrightarrow{P_3}, \overrightarrow{P_3^*}\}$，我们证明了当以 $k$ 为参数时，判定 $\overrightarrow{\mathrm{in}}_{\mathcal{X}}(T) \leq k$ 是 W[2]-完全的。此外，在 ETH 假设下，我们证明不存在运行时间为 $f(k)\\, n^{o(k)}$ 的参数化算法（其中 $f$ 为任意可计算函数），该算法作用于具有 $n$ 个顶点的竞赛图。对于 $\overrightarrow{P_3}$-凸性，我们还证明了 $\overrightarrow{\mathrm{in}}_{P_3}(T) = \mathcal{O}(\log n)$，这产生了一个简单的拟多项式 $n^{\mathcal{O}(\log n)}$ 暴力算法。另一方面，在 ETH 假设下，我们证明该问题是 NP-中间的，即它既不是 NP-难的也不属于 P。对于 $\overrightarrow{P_3^*}$-凸性，同样的暴力算法不是拟多项式的，因为我们给出了一个实例族，其中 $\overrightarrow{\mathrm{in}}_{P_3^*}(T) = \Theta(n)$。我们猜想该问题是 NP-完全的。
英文摘要：
We study the complexity of determining the interval numbers of tournaments in the $\overrightarrow{P_3}$ and $\overrightarrow{P_3^*}$ convexities, denoted by $\overrightarrow{\mathrm{in}}_{P_3}(T)$ and $\overrightarrow{\mathrm{in}}_{P_3^*}(T)$ on a tournament $T$. For each $\overrightarrow{\mathcal{X}} \in \{\overrightarrow{P_3}, \overrightarrow{P_3^*}\}$, we show that determining whether $\overrightarrow{\mathrm{in}}_{\mathcal{X}}(T) \leq k$ is W[2]-complete when parameterized by $k$. Moreover, under ETH, we show that there is no parameterized algorithm for that problem with running time $f(k)\, n^{o(k)}$ on an $n$-vertex tournament, where $f$ is any computable function. For the $\overrightarrow{P_3}$-convexity, we also show that $\overrightarrow{\mathrm{in}}_{P_3}(T) = \mathcal{O}(\log n)$, which yields a simple quasi-polynomial $n^{\mathcal{O}(\log n)}$ brute-force algorithm. On the other hand, under ETH, we show that the problem is NP-intermediate, that is, it is neither NP-hard nor in P. For the $\overrightarrow{P_3^*}$-convexity, the same brute force algorithm is not quasi-polynomial, since we present a family of instances with $\overrightarrow{\mathrm{in}}_{P_3^*}(T) = Θ(n)$. We conjecture that this problem is NP-complete.
