发表机构
University of Alabama; Yıldız Technical University; Cape Breton University（阿拉巴马大学; 伊斯坦布尔技术大学; 布雷顿角大学）
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本文证明退化p-Poisson方程弱解的存在性与特定Sobolev不等式等价，并利用该不等式证明解的存在性，同时证明解的唯一性。
AI 中文摘要
本文研究了一个无增益的Sobolev不等式（对紧支撑光滑函数成立）\\(\\|\varphi\\|_{L^p(v,\Omega)} \leq S(p,1) \\| \sqrt{Q}\nabla \varphi\\|_{L^p(\Omega)}\\) 与退化弱解 \\((u,\nabla u)\in QH^{1,p}_0(v,\Omega)\\) 的存在性之间的等价性，其中该弱解对应于带零阶项的 \\(p\\)-Laplacian 的Dirichlet问题：\\(-v^{-1}\text{Div}(|\sqrt{Q}\nabla u|^{p-2}Q\nabla u)+F|u|^{p-2}u = |f|^{p-2}f - v^{-1}\text{Div}(v|g|^{p-2}g\mathbf{t})\\)（\\(x \in \Omega\\)）且 \\(u =0\\)（\\(x \in \partial \Omega\\)）。更精确地说，我们利用Sobolev不等式证明该方程退化弱解的存在性，然后利用此类解的存在性构造Sobolev不等式。此外，我们证明了解的唯一性。
英文摘要
In this paper we study an equivalence between the existence of a Sobolev inequality without gain, \[\|φ\|_{L^p(v,Ω)} \leq S(p,1) \| \sqrt{Q}\nabla φ\|_{L^p(Ω)},\] that holds for smooth functions of compact support and the existence of a degenerate weak solution $(u,\nabla u)\in QH^{1,p}_0(v,Ω)$ to a Dirichlet problem for the $p$-Laplacian with a zero order term: \begin{equation*} -v^{-1}\text{Div}(|\sqrt{Q}\nabla u|^{p-2}Q\nabla u)+F|u|^{p-2}u = |f|^{p-2}f - v^{-1}\text{Div}(v|g|^{p-2}g\mathbf{t}),\; x \in Ω, \quad \text{and} \quad u =0, \; x \in \partial Ω, \end{equation*} More precisely, we use the Sobolev inequality to prove the existence of a degenerate weak solution to this equation and then use the existence of such a solution to produce a Sobolev inequality. Moreover, we show that solutions are unique.
