三维 Erdős 盒子问题具有指数 $11/4$
The Three-Dimensional Erdős Box Problem Has Exponent $11/4$
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中文总结 AI 辅助
该研究通过代数构造（基于有限域上的幂映射）解决了三维 Erdős 盒子问题，证明最大边数 $z(n)$ 的阶为 $\Theta(n^{11/4})$，匹配 Erdős 的上界并改进此前下界。
中文摘要 AI 辅助
$3$-一致超图的 Zarankiewicz 问题询问：在每部分各有 $n$ 个顶点的三部分超图中，不含 $K_{2,2,2}^{(3)}$（即“盒子”）副本时，边数 $z(n)$ 的最大值。Erdős (1964) 证明了 $z(n) = O(n^{11/4})$。此前最好的下界是 $\nOmega(n^{8/3})$，由 Katz、Krop 和 Maggioni (2002) 给出。我们构造了一族无盒子超图，匹配 Erdős 的上界：对于每个 $q = 2^m$（$m \geq 1$），我们的超图每部分有 $q^4$ 个顶点，共有 $q^{11}$ 条边，从而确立了 $z(n) = \Theta(n^{11/4})$。该构造是代数的，定义在 ${\bf F}_{q^3}$ 上，通过幂映射 $\tau(s) = s^{q^2-q+1}$。证明表明，$\tau$ 的方向-$1$ 有限差分将 ${\bf F}_{q^3}$ 划分为 ${\bf F}_q$ 上两两斜交的仿射线，从而阻止盒子形成。
英文摘要
Let $z(n)$ be the maximum number of edges in a tripartite $3$-uniform hypergraph with $n$ vertices in each part and no copy of $K_{2,2,2}^{(3)}$ (a ``box''). Erdős (1964) proved that $z(n) = O(n^{11/4})$, whereas the best previous lower bound, due to Katz, Krop, and Maggioni (2002), was $Ω(n^{8/3})$. For each $q = 2^m$, we construct a box-free hypergraph with $q^4$ vertices in each part and $q^{11}$ edges, showing that $z(n) = Θ(n^{11/4})$. The construction uses the power map $τ(s) = s^{q^2-q+1}$ on $\F_{q^3}$, which sends the fibers of $s \mapsto τ(s+1) + τ(s)$ to pairwise skew affine lines over $\F_q$.
