AI 中文总结
本文提出一个判定准则，利用模4同余条件和线性代数矩阵构造，证明满足特定系数关系的椭圆曲线在正整数集中无解。
AI 中文摘要
在这项工作中，我们建立了一个判定准则，用于分类在正整数集中无解的椭圆曲线。特别地，我们证明：若 $E: y^2 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ 是一条椭圆曲线，其中 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 是曲线的系数，$p$ 是一个满足 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 的素数，且 $(x,y)$ 是正整数点，则当 $$ -3A + C \equiv -1 \pmod{4}, $$ $$ A - B + C \equiv -1 \pmod{4}, $$ 且 $$ p^2 = A - B + C - B, $$ 时，曲线 $E$ 不存在正整数解，即 $E(\mathbb{Z}^{+}) = \varnothing$。此外，我们通过引入线性代数技术来推广这一准则。具体而言，我们引入了一种矩阵构造，以证明一族椭圆曲线不存在正整数解。
英文摘要
In this work, we establish a criterion for classifying elliptic curves that have no solutions in the set of positive integers. In particular, we prove that if $E: y^2 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ is an elliptic curve where $A$, $B$, $C$, and $D$ are coefficients of the curve, and $p$ is a prime number where $p \equiv 1 \pmod{4}$, and $(x,y)$ is a positive integer point, then if $$ -3A + C \equiv -1 \pmod{4}, $$ $$ A - B + C \equiv -1 \pmod{4}, $$ and $$ p^2 = A - B + C - B, $$ then there are no positive solutions for the curve $E$, where $E(\mathbb{Z}^{+}) = \varnothing$. Furthermore, we generalize this criterion by incorporating techniques from linear algebra. Specifically, we introduce a matrix construction to establish the nonexistence of positive integer solutions for a family of elliptic curves.
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