全纯叶状结构与曲线的几何指标定理
Geometric index theorems for holomorphic foliations and curves
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本文针对复曲面上的全纯叶状结构，引入相对指标并证明其和等于相交数，进而推导出两个接触公式，推广了 Plücker 公式且不依赖参考叶状结构。
中文摘要 AI 辅助
设 $M$ 为带有全纯射影联络的复曲面，$C \subset M$ 为紧致光滑全纯曲线。给定 $C$ 附近的两个奇异全纯叶状结构 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$，且 $C$ 不是 $\mathcal{G}$-不变的，我们为每个点 $p \in C$ 赋予一个指标 $\mathrm{Ind}(\mathcal{F},\mathcal{G},C,p) \in \mathbb{C}$，该指标表示 $\mathcal{F}$ 相对于参考叶状结构 $\mathcal{G}$ 的指标，并证明这些指标之和等于 $T\mathcal{G} \cdot C$。当 $C$ 是 $\mathcal{F}$-不变时，该指标为 Camacho--Sad 指标经 $\mathcal{G}$ 与 $C$ 的切触阶修正后的结果，且指标公式退化为 Camacho--Sad 公式。主要应用是两个接触公式。在 $\mathcal{G}$ 与 $C$ 的切触点 $p$ 处，令 $k(\mathcal{G},C,p)$ 为 $\mathcal{G}$ 的叶与曲线在 $p$ 处的曲率之比；尽管每个曲率分别依赖于度量的选择，但该比值是射影不变量。若 $\mathcal{G}$ 在 $C$ 上没有奇点且仅与 $C$ 有简单切触，则 $$ \sum_{p} \frac{1}{1 - k(\mathcal{G},C,p)} = \frac{2}{3}\left( C \cdot C + g - 1 \right), $$ 其中 $g$ 为 $C$ 的亏格：切触数依赖于 $\mathcal{G}$，但此加权计数不依赖于 $\mathcal{G}$。对于射影平面中的直线束，该公式即平面曲线类的 Plücker 公式。第二个公式断言：对于相对于 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 处于一般位置且非测地线的曲线，$\mathcal{F}$ 与 $\mathcal{G}$ 沿 $C$ 的切触总指标等于 $\mathcal{G}$ 与 $C$ 的切触数减去 $C$ 的拐点数的三分之一；特别地，该总指标不依赖于 $\mathcal{F}$。
英文摘要
Let $M$ be a complex surface endowed with a holomorphic projective connection and let $C \subset M$ be a compact smooth holomorphic curve. Given two singular holomorphic foliations $\mathcal{F}$ and $\mathcal{G}$ near $C$, with $C$ not $\mathcal{G}$-invariant, we attach to every point $p \in C$ an index $\mathrm{Ind}(\mathcal{F},\mathcal{G},C,p) \in \mathbb{C}$ of $\mathcal{F}$ relative to the reference $\mathcal{G}$, and we prove that these indices add up to $T\mathcal{G} \cdot C$. When $C$ is $\mathcal{F}$-invariant the index is the Camacho--Sad index corrected by the order of tangency of $\mathcal{G}$ with $C$, and the index formula reduces to the Camacho--Sad formula. The main applications are two contact formulas. At a tangency point $p$ of $\mathcal{G}$ with $C$, let $k(\mathcal{G},C,p)$ be the ratio of the curvatures at $p$ of the leaf of $\mathcal{G}$ and of the curve; it is a projective invariant, although each curvature separately depends on a choice of metric. If $\mathcal{G}$ has no singular points on $C$ and only simple tangencies with $C$, then $$ \sum_{p} \frac{1}{1 - k(\mathcal{G},C,p)} = \frac{2}{3}\left( C \cdot C + g - 1 \right), $$ where $g$ is the genus of $C$: the number of tangencies depends on $\mathcal{G}$, but this weighted count does not. For a pencil of lines in the projective plane it is the Plücker formula for the class of a plane curve. The second formula asserts that, for a curve in general position with respect to $\mathcal{F}$ and $\mathcal{G}$ which is not a geodesic, the total index of the tangencies of $\mathcal{F}$ with $\mathcal{G}$ along $C$ equals the number of tangencies of $\mathcal{G}$ with $C$ minus one third of the number of inflection points of $C$; in particular, it does not depend on $\mathcal{F}$.
发表机构
- School of applied mathematics EMAp-FGV（应用数学学院 EMAp-FGV）
- Pontificia Universidad Católica del Perú（秘鲁天主教宗座大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
