Cl(4,2) 的双重塔：普适幂零性、投影算子恒等式以及来自共形零向量的 sl(8,R) 抛物子代数
The Doublet Tower of Cl(4,2): Universal Nilpotency, Projector Identities, and the sl(8,R) Parabolic from Conformal Null Vectors
- Niels Bohr Institute（尼尔斯·玻尔研究所）
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AI总结：
本文研究共形几何代数 Cl(4,2) 的 Z_2 分次结构，证明其 ad_D-特征向量由 16 个双重态组成，满足普适幂零性与投影算子恒等式，并生成 sl(8,R) 李代数，其中共形代数 so(4,2) 嵌入为子代数，且恒等式在任意共形扩展中成立。
AI中文摘要：
共形几何代数 Cl(4,2) ~ R(8) 具有由膨胀双向量 D=e_4e_0 定义的自然的 Z_2 分次，该双向量满足 D^2=1，并将八维旋量模分裂为两个四维特征空间 S=S_+⊕S_-。我们证明了 Cl(4,2) 的 ad_D-特征向量，即在李括号 [D,·] 下具有特征值 ±1 的元素，恰好由 16 个形如 T^±_J=n_•e_J 的双重态组成，其中 n_•∈{n_∞,n_o} 是零向量，e_J 是由 J⊆{1,2,3,5} 索引的洛伦兹扇区基向量的乘积。这些双重态满足普适代数恒等式：(T^±_J)^2=0（幂零性）和 T^+_J T^-_J=(-1)^{k(k+1)/2+1} η_J 2Π_+（单投影算子比例性），其中 k=|J|，η_J=∏_{j∈J}η_jj 是旁观度量，Π_+=1/2(1+D)。收缩和 ∑_{|J|=k}T^+_J T^-_J 被证明由洛伦兹符号值 (+1,+1,+1,-1) 的初等对称多项式 S_k 控制，其中 S_2=0 的消失反映了物理时空的 (3,1) 符号。偶次双重态（属于 Cl^+(4,2) ~ Cl(4,1)）对未加权总和贡献 8Π_+，而奇次双重态则精确抵消。在交换子括号下，这 32 个双重态特征向量生成 63 维李代数 sl(8,R)，其中共形代数 so(4,2) 作为 15 维子代数嵌入。所有恒等式，包括跨越 Levi 界面的交换子的闭式形式，都在每个共形扩展 Cl(p+1,q+1) 中得到证明；在那里，交换子张成恰好缺少代数的中心，这是一种在洛伦兹符号下不可见的宇称二分法。发展了两种应用：塔的顶层计算了秩五伪标量的狄拉克与马约拉纳二分法... [缩短]
英文摘要：
The conformal geometric algebra Cl(4,2) ~ R(8) carries a natural Z_2-grading defined by the dilatation bivector D=\e_4e_0, which satisfies $D^2=1$ and splits the eight-dimensional spinor module into two four-dimensional eigenspaces $S=S_+\oplus S_-$. We prove that the ad_D-eigenvectors of Cl(4,2), those elements with eigenvalue~$\pm1$ under the Lie bracket $[D,\cdot]$, are exhausted by 16 doublets of the form $T^\pm_J=n_\bullet e_J$, where $n_\bullet \in {n_\infty,n_o}$ is a null vector and $e_J$ is a product of Lorentz-sector basis vectors indexed by $J\subseteq\{1,2,3,5\}$. These doublets satisfy universal algebraic identities: $(T^\pm_J)^2=0$ (nilpotency) and $T^+_J\,T^-_J=(-1)^{k(k+1)/2+1}\,η_J 2Π_+$ (single-projector proportionality), where $k=|J|$, $η_J=\prod_{j\in J}η_{jj}$ is the spectator metric, and $Π_+=\tfrac12(1+D)$. The contracted sums $\sum_{|J|=k}T^+_J T^-_J$ are shown to be controlled by the elementary symmetric polynomials $S_k$ of the Lorentz signature values $(+1,+1,+1,-1)$, with the vanishing of $S_2=0$ reflecting the $(3,1)$ signature of physical spacetime. The even-grade doublets (belonging to Cl^+(4,2) ~ Cl(4,1)) contribute $8Π_+$ to the unweighted grand total, while the odd-grade doublets cancel exactly. The 32 doublet eigenvectors generate, under the commutator bracket, the 63-dimensional Lie algebra sl(8,R) in which the conformal algebra so(4,2) embeds as a 15-dimensional subalgebra. All identities, including a closed form for the commutators across the Levi interface, are proved in every conformal extension Cl(p+1,q+1); there the commutator span misses precisely the center of the algebra, a parity dichotomy invisible at the Lorentz signature. Two applications are developed: the top rung of the tower computes the Dirac versus Majorana dichotomy of rank-five pseudoscalars ... [shortened]
