发表机构
Carl von Ossietzky Universität; Universidad Torcuato Di Tella; IMAS-CONICET; Facultad de Cs. Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires; IAM-CONICET; Faculty of Mathematics and Computer Science, Adam Mickiewicz University; CIFASIS, CONICET; Departamento de Matemática, Facultad de Cs. Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires（卡尔·冯·奥西茨基大学; 托尔夸托·迪泰拉大学; 阿根廷国家科学研究委员会数学与统计研究所; 布宜诺斯艾利斯大学理学院; 阿根廷国家科学研究委员会数学研究所; 亚当·密茨凯维奇大学数学与计算机科学系; 阿根廷国家科学研究委员会计算与应用科学中心; 布宜诺斯艾利斯大学理学院数学系）
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本文用表示论框架计算紧致齐次空间上多项式子空间的投影常数，刻画等变投影唯一性，并在高维情形给出平方根维数尺度的精确渐近。
AI 中文摘要
我们发展了一个表示论框架，用于计算$C(K)$的有限维子空间的投影常数，其中$K$是一个紧致齐次$G$-空间。在此框架内，我们刻画了那些$G$-等变投影唯一的有限维$G$-不变子空间。这些子空间恰为$L_2(K)$的Peter--Weyl分解中全等型分量的有限正交和。对于这样的子空间，取平均表明，这个唯一的$G$-等变投影是最小的；它是$L_2(K)$-正交投影到$C(K)$上的限制。因此，它们的投影常数由显式再生核切片（reproducing-kernel slice）的$L_1$-范数给出。我们将此方法应用于高维$d$-齐次多项式空间。例子涵盖从环面上的傅里叶分析，到实和复欧几里得球面上的球谐分析，再到酉群上真正非交换的调和分析，其中表示论变得不可或缺。对于所有这些族，我们获得了在平方根维数尺度下的精确高维渐近行为。
英文摘要
We develop a representation-theoretic framework for computing projection constants of finite-dimensional subspaces of $C(K)$, where $K$ is a compact homogeneous $G$-space. Within this framework, we characterize the finite-dimensional $G$-invariant subspaces for which the $G$-equivariant projection is unique. These are precisely the finite orthogonal sums of full isotypic components in the Peter--Weyl decomposition of $L_2(K)$. For such subspaces, averaging shows that this unique $G$-equivariant projection is minimal; it is the restriction to $C(K)$ of the $L_2(K)$-orthogonal projection. Consequently, their projection constants are given by the $L_1$-norm of an explicit reproducing-kernel slice. We apply this method to spaces of $d$-homogeneous polynomials in high dimension. The examples range from Fourier analysis on the torus, through spherical harmonic analysis on real and complex Euclidean spheres, to genuinely noncommutative harmonic analysis on the unitary group, where representation theory becomes indispensable. For all these families, we obtain precise high-dimensional asymptotics at the square-root-of-dimension scale.
Comments49 pages
