发表机构
University of Western Ontario（韦仕敦大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
该研究通过代数几何与稀疏多项式方法，将耦合曲线空间与格拉斯曼流形关联，构造多项式系统并计算混合体积，结合分支逃逸分析，严格证明九点路径综合问题的一般解数为1442，解决了Alt问题。
AI 中文摘要
我们证明了平面内九个一般位置点存在1442条四杆耦合曲线，从而解决了Alt问题。我们分三步获得此证明。首先，我们将耦合曲线空间与Gr(3,6)的一个Zariski开子集等同。其次，我们在此坐标下构造表示九点路径综合问题的多项式系统，并对其进行修改以获得混合体积5538。最后，我们证明具有该支撑的一般稀疏多项式系统的4096个分支在稀疏极限下逃逸出环面。因此，我们获得一般解数的上界5538-4096=1442。通过在一个实例上的数值验证实现下界1442。
英文摘要
We prove there are $1442$ four-bar coupler curves through nine generic points in the plane, and thus resolve Alt's problem. We obtain this proof in three steps. First, we identify the space of coupler curves with a Zariski open subset of $\textrm{Gr}(3,6)$. Next, we formulate the polynomial system representing the nine-point path synthesis problem in these coordinates and modify it to obtain the mixed volume $5538$. Finally, we prove that $4096$ of the branches of the generic sparse polynomial system with that support escape the torus in the sparse limit. Thus, we obtain an upper bound of $5538-4096=1442$ for the generic solution count. A lower bound of $1442$ is achieved via numerical certification on one instance.
Comments32 pages, 6 figures
