发表机构
Université Paris-Saclay; Institut Universitaire de France（巴黎萨克雷大学; 法国高等研究院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
研究二维环面上带势的散焦三次非线性薛定谔方程，证明随机初值下几乎必然全局弱适定，解与线性演化之差具有正正则性，推广了Bourgain的不变测度结果。
AI 中文摘要
我们考虑二维环面（$T^2$）上带势 $V(x)\in H^{2^+}(T^2)$ 的三次非线性散焦薛定谔方程。初值 $u_0$ 由协方差为 $(-\Delta+V)^{-1}$ 的中心高斯变量给出，因此几乎必然属于 $H^{0^-}(T^2)$。我们证明该方程在弱意义下几乎必然对所有时间适定，且 $u-e^{it(\Delta -V)}u_0$ 属于 $H^{s}(T^2)$（其中 $s>0$），并且该解是截断方程解的极限。这一结果是 Bourgain 在《二维散焦非线性薛定谔方程的不变测度》中首次给出的结果的推广。
英文摘要
We consider the non-linear cubic defocusing Schrödinger equation on the 2D Torus ($T^2$) with a potential $V(x)\in H^{2^+}(T^2)$. The initial data, $u_0$,is given by a centered gaussian variable with covariance $(-Δ+V)^{-1}$, and thus is almost surely in $H^{0^-}(T^2)$. We show that it is almost surely well-possed for all time in the weak sense, and that $u-e^{it(Δ-V)}u_0$ is in $H^{s}(T^2)$ for some $s>0$, and that the solution is the limit of the solutions to the truncated equation. This result is a generalization of the results first given by Bourgain in Invariant Measures for the {2D}-Defocusing Nonlinear {Schr{ö}dinger} Equation.
