近线性时间内采样匹配
Sampling Matchings in Near-linear Time
- State Key Laboratory for Novel Software Technology（新型软件技术国家重点实验室）
- New Cornerstone Science Laboratory（新基石科学实验室）
- Nanjing University, China（南京大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文针对单体-二聚体模型，提出近线性时间混合采样、并行采样和近似计数算法，基于场动力学谱稳定性建立对数-索博列夫准则，实现高效匹配采样。
AI中文摘要：
对于每个固定的活动参数 $\lambda>0$，我们在具有 $m\ge1$ 条边和最大度 $\Delta$ 的 $n$ 顶点简单图 $G$ 上的单体-二聚体模型中建立了三个结果。1. 近线性混合与采样。单边 Glauber 动力学的混合时间为 $O_\lambda(m[\log^2 n+\log(1/\varepsilon)])$，从而给出近线性时间的近似采样器。2. 工作高效的并行采样。我们并行模拟相同的 Glauber 动力学，使用 $\tilde{O}_\lambda(m+n)$ 工作量和 $\tilde{O}_\lambda(\min\{\Delta,m^{1/3},\sqrt n\})$ 深度，且具有高概率。3. 快速近似计数。我们在 $\tilde{O}_\lambda(n^2/\varepsilon^2)$ 工作量内估计配分函数，相对误差为 $\varepsilon$。对于 $m=\Theta(n^2)$ 的稠密图，这在输入规模上是近线性的。对于混合定理，我们建立了一个基于场动力学谱稳定性的通用对数-索博列夫准则，仅对逆占据边际下界具有对数依赖。并行性使用了占据区间依赖性的匹配特定分析。计数使用了单体预条件的 Jerrum--Sinclair 动力学，其参数通过 Glauber 动力学高效学习。
英文摘要：
For every fixed activity $λ>0$, we establish three results for the monomer--dimer model on an $n$-vertex simple graph $G$ with $m\ge1$ edges and maximum degree $Δ$. 1. Near-linear mixing and sampling. Single-edge Glauber dynamics has mixing time $O_λ(m[\log^2 n+\log(1/\varepsilon)])$, giving a near-linear-time approximate sampler. 2. Work-efficient parallel sampling. We simulate the same Glauber dynamics in parallel using $\tilde{O}_λ(m+n)$ work and $\tilde{O}_λ(\min\{Δ,m^{1/3},\sqrt n\})$ depth with high probability. 3. Fast approximate counting. We estimate the partition function within relative error $\varepsilon$ in $\tilde{O}_λ(n^2/\varepsilon^2)$ work. For dense graphs with $m=Θ(n^2)$, this is near-linear in the input size. For the mixing theorem, we establish a general log--Sobolev criterion based on field-dynamics spectral stability, with only logarithmic dependence on the inverse occupied-marginal lower bound. Parallelism uses a matching-specific analysis of occupation-interval dependencies. Counting uses monomer-preconditioned Jerrum--Sinclair dynamics, whose parameters are learned efficiently by Glauber dynamics.
