发表机构
School of Mathematical Sciences, Guangxi Minzu University（广西民族大学数学科学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文针对Fuchs问题，用模论方法刻画阿贝尔群在其自同态环上的奇异子模，通过本质核准则和挠传递公式给出所有奇异子模的Ext/Hom参数化及显式公式。
AI 中文摘要
设 $A$ 为阿贝尔群，$E=\Endo_{\Z}(A)$。我们给出 Fuchs 问题 1.2 中所问的奇异 $E$-子模的模论描述。对于含幺环 $R$ 和左 $R$-模 $M$，置 $W=I_R({}_RR)\oplus I_R(M)$，$J=\Jaco(\Endo_R(W))$，并令 $u$ 为 $1_R$ 的像。经典的本质核准则给出 \\[ Z_R(M)=M\cap Ju. \\] 因此，当 $R=E$ 且 $M=A$ 时，所有奇异子模均为 $A\cap Ju$ 的 $E$-子模。记 $T=t(A)$ 且 $B=A/T$，我们证明一个挠传递公式，将挠部分识别为 $\bigoplus_p pT_p$，并通过一个典范障碍描述同时的素理想提升。所得的扩张给出所有奇异子模的 $\Extt/\Homm$ 参数化。我们获得挠群以及 $\Z(p^\infty)\oplus B$（其中 $B$ 无挠）的显式公式；在后一情形中，$B$ 的全不变子群格作为区间出现。一般描述保留诱导的自同态作用和扩张数据，而非通过经典群不变量给出分类。
英文摘要
Let $A$ be an abelian group and $E=\Endo_{\Z}(A)$. We give a module-theoretic description of the singular $E$-submodules asked for in Fuchs' Problem~1.2. For a unital ring $R$ and a left $R$-module $M$, put $W=I_R({}_RR)\oplus I_R(M)$ and $J=\Jaco(\Endo_R(W))$, and let $u$ be the image of $1_R$. The classical essential-kernel criterion yields \[ Z_R(M)=M\cap Ju. \] For $R=E$ and $M=A$, all singular submodules are therefore the $E$-submodules of $A\cap Ju$. Writing $T=t(A)$ and $B=A/T$, we prove a torsion-transfer formula, identify the torsion part as $\bigoplus_p pT_p$, and describe simultaneous prime lifting by a canonical obstruction. The resulting extension gives an $\Extt/\Homm$ parametrization of all singular submodules. We obtain explicit formulas for torsion groups and for $\Z(p^\infty)\oplus B$ with $B$ torsion-free; in the latter case the fully invariant subgroup lattice of $B$ occurs as an interval. The general description retains the induced endomorphism action and extension data, rather than giving a classification by classical group invariants.
