发表机构
Université de Lorraine; CNRS; IECL; CEREMADE, UMR CNRS 7534, Université Paris-Dauphine, Université PSL; Inria SPHINX; Institut Universitaire de France (IUF)（洛林大学; 法国国家科学研究中心; 洛林数学与计算实验室; 巴黎第九大学 CERMEDÉ 实验室（CNRS 联合研究单位 7534）; 法国国家数字研究院 SPHINX 团队; 法国高等研究院）
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本研究针对三维完美导电腔体，证明凸域上尺度不变泛函J_Per有正下确界，并分析坍缩行为，虽最优形状存在性未决，但排除了光滑边界极小元。
AI 中文摘要
我们研究了在完美导电腔体中，通过尺度不变泛函 $J_{\mathrm{Per}}(\Omega):=\mathrm{Per}(\Omega)\lambda_1^{\mathrm{Max}}(\Omega)$ 在 $\mathbb R^3$ 中最小化第一螺线管Maxwell特征值 $\lambda_1^{\mathrm{Max}}(\Omega)$ 的问题。虽然相应的无约束问题已知是不适定的，但我们关注有界凸腔体，并证明 $J_{\mathrm{Per}}$ 在该类中具有正下确界。证明依赖于对具有有界周长的凸域序列的三种主要可能行为的研究：收敛到具有非空内部的有界凸域、坍缩到平面域或坍缩到一维域。平面坍缩的情形通过投影论证处理，得到一个下界，而一维坍缩的情形则通过不同的论证控制，表明在该情形下 $J_{\mathrm{Per}}$ 必须发散到 $+\infty$。尽管最优形状的存在性问题（即排除平面坍缩）仍然开放，我们推导出若干否定结果和存在性障碍；典型地，不存在具有 $\mathscr C^{3,+}$ 边界的极小元。这依赖于对一阶最优性条件的精细分析。
英文摘要
We study the minimisation of the first solenoidal Maxwell eigenvalue $λ_1^{\mathrm{Max}}(Ω)$ in perfectly conducting cavities through the scale-invariant functional $J_{\mathrm{Per}}(Ω):=\mathrm{Per}(Ω)λ_1^{\mathrm{Max}}(Ω)$ in $\mathbb R^3$. While the corresponding unconstrained problem is known to be ill-posed, we focus on bounded convex cavities and prove that $J_{\mathrm{Per}}$ has a positive infimum in this class. The proof relies on the study of the three main possible behaviours for sequences of convex domains with bounded perimeter: convergence to a bounded convex domain with non-empty interior, collapse to a planar domain or collapse to a one-dimensional domain. The case of a planar collapse is handled through projection arguments, yielding a lower bound, while that of a one-dimensional collapse is controlled by a different argument, showing that in that case $J_{\mathrm{Per}}$ must diverge to $+\infty$. Although the question of existence of an optimal shape (that is, ruling out planar collapse) remains open, we derive several negative results and obstructions to existence; typically, no minimiser with a $\mathscr C^{3,+}$ boundary exists. This relies on a fine analysis of first-order optimality conditions.
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