关于超分拆的某些最小排除数的一个注记
A Note On Certain Minimal Excludants Over Overpartitions
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中文总结 AI 辅助
本文从算术角度研究超分拆的最小排除数之和及其偶数版本，证明了模2^2的同余式及渐近等价关系，并给出相关渐近行为。
中文摘要 AI 辅助
设 $\sigma\mathrm{Mex}(n)$ 和 $\sigma_e\mathrm{Mex}(n)$ 分别表示所有超分拆上最小排除数之和与偶数最小排除数之和。本文从算术角度研究这两个组合对象。我们证明，对于 $n\geq 0$，$\sigma_e\mathrm{Mex}(n)\equiv\sigma\mathrm{Mex}(n)-\bar{p}_{\geq 2}(n)\pmod{2^2}$，其中 $\bar{p}_{\geq 2}(n)$ 表示所有部分至少为 $2$ 的 $n$ 的超分拆数。此外，我们证明了当 $n\to\infty$ 时 $\sigma\mathrm{Mex}(n)$、$\sigma_e\mathrm{Mex}(n)$ 和 $\bar{p}_{\geq 2}(n)$ 的渐近行为。特别地，我们证明 $\sigma\mathrm{Mex}(n)\sim 2\\,\sigma_e\mathrm{Mex}(n)$。
英文摘要
Let $σ\mathrm{Mex}(n)$ and $σ_e\mathrm{Mex}(n)$ denote the sum of minimal excludants and sum of even minimal excludants over all overpartitions, respectively. In this work, we study these two combinatorial objects from an arithmetic perspective. We prove that, for $n\geq 0$, $σ_e\mathrm{Mex}(n)\equivσ\mathrm{Mex}(n)-\bar{p}_{\geq 2}(n)\pmod{2^2}$, where $\bar{p}_{\geq 2}(n)$ denotes the number of overpartitions of $n$ with all parts at least $2$, and obtain relation with basic hypergeometric series. Furthermore, we prove the asymptotic behavior of $σ\mathrm{Mex}(n)$, $σ_e\mathrm{Mex}(n)$, and $\bar{p}_{\geq 2}(n)$ as $n\to\infty$. In particular, we prove that $σ\mathrm{Mex}(n)\sim 2\,σ_e\mathrm{Mex}(n).$
